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新虫 (初入文坛)

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[求助] 格里菲斯《introduction to quantum mechanics》中第二章第四节关于群速的证明

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1楼 2013-04-13 22:05:53

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2楼2013-04-13 23:02:43

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如果你能一路想通到（2.105）
那么
$|\Psi(x,t)|^2=|\Psi(x-\omega'_0t,0)|^2$
波形会保持不变，但是位置会随着时间移动。速度是：
$\omega'_0$

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3楼2013-04-13 23:09:33

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wangkj

4楼2013-04-14 00:09:11

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【答案】应助回帖

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要确定一个波包的群速度，假定波包的一般形式为：
$\Psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k)\exp[i(kx-\omega t)]dk$
这实际上是一个傅里叶变换。
其中：
$\omega =\frac{\hbar k^2}{2m}$
这个是能量和动量的关系。在研究波动的时候，这个关系也叫做色散关系 dispersion relation.
一般要求 $\phi(k)$ 以 $k_0$ 为中心，而且宽度很窄, 就是频率成分不要太多，就是波包宽一点，更像平面波一点。

将频率在 $\omega_0$ 处做展开， $\omega_0$ 是利用色散关系求出的对应$k_0$的值。
$\omega(k)\approx \omega_0+\omega'_0 \cdot (k-k_0)$
其中
$\omega'_0=\frac{d \omega}{d k}$
这个就是泰勒展开。

然后定义一个新量
$s=k-k_0$
为了书写方便，
于是：
$\Psi(x,t)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\infty}^{+\infty}\phi(k_0+s)\exp[i(k_0+s)x-i(\omega_0+\omega_0's) t]\;\;\;\;\;\;\;\; (*)$

其实就是把泰勒展开那个式子带进了波包的表达式（第一个式子），并利用了
$s=k-k_0$
这一步是最重要的。

下面的分析比较简单 $t=0$ 时
$\Psi(x,0)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k_0+s)\exp[i(k_0+s)x]ds\;\;\;\;\;\;\;(**)$

这是波包的初始状态

那么变化(*)式子，就得到了

$\Psi(x,t)\approx\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp[-i\omega_0 t+i k_0 \omega'_0 t] \int_{-\infty}^{+\infty}\phi(k_0+s)\exp[i(k_0+s)(x-\omega'_0 t)]ds \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(***)$

这个就是简单计算，你把外面的e指数乘到积分号里就可以了。和(*)是一样的。

然后好好看看就发现了(***)和(**)的关系：

$\Psi(x,t)\approx \exp[-i\omega_0 t+i k_0 \omega'_0 t]\Psi(x-\omega'_0t,0)$

外面的e指数的模是1，不影响几率分布

$|\Psi(x,t)|^2\approx |\Psi(x-\omega'_0t,0)|^2$

波形保持不变，位置在随时间变化。速度是：

$v_{group}=\omega'_0=\frac{d\omega}{dk}$

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5楼2013-04-14 00:29:06

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