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马明雄浪

新虫 (初入文坛)

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[求助] 欧氏空间

欧氏空间只限于有限维空间吗？有些无限维空间可不可以看作是欧式空间？比如闭区间[a,b]上的全体连续实函数,关于连续函数f与g的乘积fg在区间[a,b]的定积分作成的内积是欧氏空间吗？

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1楼 2013-04-01 22:56:04

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pengyehui

木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

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是的。定义了内积的赋范空间就是内积空间吧

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2楼2013-04-01 23:08:33

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bulletmail

铁杆木虫 (正式写手)

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【答案】应助回帖

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lovibond: 金币+1, 鼓励新虫应助 2013-04-02 08:28:56
马明雄浪: 金币+1, ★有帮助, 谢谢 2013-04-02 18:53:58

你说的有界闭区间上面的全体连续函数在你定义的内积下是内积空间，由这个内积诱导一个范数，因此是赋范空间，但是这个空间并不完备，完备化之后你得到的是全体平方可积实函数。另外你连续函数在这个集合上定义了乘法因此可以验证这是一个代数。
欧式空间一般都指有限维的内积空间，自然完备，无限维完备的内积空间称为Hilbert空间。

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3楼2013-04-02 05:55:55

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