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【求助】同态,同构,同调,同伦,同xx等数学概念的物理含义?
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群的同构 是否对应于 群描述的结构,例如晶体结构的同构? 若否,请教数学上同构一词的来源. 若是,请问上/下同构 的物理含义是啥?同伦,同态,同调,同xx等数学概念是否也有物理含义 解释请言简意赅,我不吝惜金币 [ Last edited by ddx-k on 2008-12-14 at 20:02 ] |
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fenghbu(金币+10,VIP+0):thanks
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1. 数学上一个群大致包含两个要素：群元和群乘法。 a）.两个群的乘法可用一个满映射对应，即此满映射保持群乘法不变，两个群称为同态。粗略的说，此时两个群可以是不一样大的，如n个群元群F可和m个群元群G对应（可以多对一），只需F中两元素乘积，等于两元素映射后（此时属于G）的乘积。 b）.以上的满映射若还是一一对应的，此时两个群称为同构。此时，两个群大小相同，乘法一样，数学上可视作等价。例如，空间反演群和二阶循环群同构 Remark: 对于晶体我知道不多，但是它是由晶格集合描述，利用晶体点群的话，这就是一个抽象群的分类问题，因此，可照搬以上的说法。 2. 同伦是抽象的拓扑概念，最常见的是道路同伦。先给一个拓扑空间（不用管什么意思，你能遇见的空间一般都是）X，从一点出发画两个封闭路径，若两个loop可以连续的互相变形，就说它们道路同伦。所有道路同伦的路径构成一个等价类，称为同伦类，一般取其中一条路径做代表即可。很显然，同论是一种等价关系，所有不等价类构成一个群，称为第一同伦群（基本群）。 e.g. 2维欧氏空间的例子。若其中有一个洞（拓扑障碍），那么，所有道路可按绕该洞的圈数多少划分，0圈一类、1圈一类、等等。因此，该空间同伦群同构于整数群Z Remark：这些概念可在多面体（晶体）中找到理解 3. 同调不太好解释，由于高维同伦群很难计算，所以取代为同调类（比之前者含信息少）。粗略的看，两个流形（不知道的话就想像成任意的几何体）本身没有边界（如圆），但却是一个更高维流形的边界，则两个流形同调。它的对偶运算是所谓上同调，规范场中的示性类正是一种特殊的上同调。 e.g. 想像一截钢管，两个口子是圆，所以本身没有边界，但是，它们同时是钢管柱面的边界，因此属于同一同调类。 summary： 1. 这些概念在数学上有极为严格的定义，并发展出一整套几何、拓扑、代数的理论。现在来看，通过这些概念，以上三者可以有共同的框架：微分几何、代数拓扑、代数几何，最后，很重要的是代数几何中的Langlands纲领（很折磨人的东西，特别是对学物理的人来说 T_T） 如果想获得一些这方面的基础数学又不至于深陷其中的话，可参看M.A.Armstrong的Basic Topology,1983,Springer，是很直观的一本书 2. 现代数学在理论物理中的作用很大，因为它们解释了一些深刻的数学本质，当然，解释这些数学本质的物理含义是物理学的工作，它们对应的物理本质也很大推动自然的理解。例如，广义相对论的Riemann几何语言，规范场的纤维丛语言，弦理论的代数几何语言等等。所以，一大批很有成就的数学家也乐于从事数学物理研究，如Weyl、Atiyah、丘成桐、Drinfeld等（当然，都是在他们拿fields奖后，生活无忧了），同时，顶尖的物理学家一般也是优秀的数学家，如杨先生、't Hooft、Hawking、Witten等。 [ Last edited by SiriusB on 2007-11-19 at 01:36 ] |
6楼2007-11-19 01:33:58
2楼2007-08-23 02:48:27
3楼2007-09-14 00:29:46
4楼2007-11-18 19:50:06