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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 工科数学 » 证明一题
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刘小军先生

金虫 (小有名气)

十五画生

[求助] 证明一题

A和B均是n阶正定矩阵,证明AB是正定矩阵的充分必要条件是AB=BA

[ 发自手机版 http://muchong.com/3g ]
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不检束，心日恣肆;不奋发，心日颓靡。
1楼 2012-12-21 20:44:18
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11jxli1

禁虫 (著名写手)
感谢参与，应助指数 +1
本帖内容被屏蔽
2楼2012-12-23 12:35:52
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math2000

铁杆木虫 (职业作家)

【答案】应助回帖

感谢参与，应助指数 +1
AB是正定矩阵<=>AB对称，且对任意非零向量x，有 x^T*(AB)*x > 0
因为已知A，B是正定的，所以对任意非零向量x，有 x^T*A*x>0, x^T*B*x > 0
所以有
x^T*A*x * x^T*B*x =(||x||^2)* x^T*(AB)*x  >0
由此可知，只要证 AB是正定矩阵<=>AB对称 即可
而 AB对称 <=>(AB)^T=AB <=>BA =AB
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3楼2012-12-23 18:06:50
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junefi

铁杆木虫 (正式写手)
引用回帖:
3楼: Originally posted by math2000 at 2012-12-23 18:06:50
AB是正定矩阵<=>AB对称，且对任意非零向量x，有 x^T*(AB)*x > 0
因为已知A，B是正定的，所以对任意非零向量x，有 x^T*A*x>0, x^T*B*x > 0
所以有
x^T*A*x * x^T*B*x =(||x||^2)* x^T*(AB)*x  &g ...

x^T*A*x * x^T*B*x是否等于(||x||^2)* x^T*(AB)*x？
赞一下 回复此楼
理论改变世界！
4楼2012-12-28 00:02:09
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Pchief

铁杆木虫 (正式写手)
这题太普遍了，看这个：

http://zhidao.baidu.com/question/132849700.html?oldq=1
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5楼2012-12-28 18:37:43
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