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求证：对称矩阵A的范数等于谱半径
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有这样一个证明题：对称矩阵A的2-范数等于其谱半径。请各位帮忙一下！！ |
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sukiyq
木虫 (小有名气)
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【答案】应助回帖
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感谢参与，应助指数 +1
yan0415: 金币+10 2012-11-26 21:28:06
感谢参与，应助指数 +1
yan0415: 金币+10 2012-11-26 21:28:06
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因为如果U是正交矩阵，作用于任意向量，都不会改变二范数大小，也就是说|Ux|=|x|，这里用绝对值表示二范数。 A的二范数定义为|A| = max{|Ax|，x满足|x|=1}那么，由于A是对称矩阵，可以对角化为A=UDU'，U是正交矩阵，D是对角阵，且对角线由A的特征值从大到小排列，所以可以得到|Ax|=|UDU'x|=|DU'x|，再设U'x=y，因为U是正交矩阵，U的转置U'也是正交矩阵，因此这样的向量y一定存在，并且和x有同样的二范数。因此： |A| = max{|Ax|，x满足|x|=1} =max{|UDU'x|，x满足|x|=1} =max{|DU'x|，x满足|x|=1} =max{|Dy|，y满足|y|=1} =D*e1(y=e1) =D的最大特征值 =A的谱半径 |
2楼2012-11-26 12:19:19