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Doctorcbw

木虫 (职业作家)

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[交流] 证明：多项式 f(x)=(x-a1)^2(x-a2)^2...(x-an)^2+1 在有理数域上不可约

a1,a2,...,an是n个不同的整数。
证明：多项式
f(x)=(x-a1)^2(x-a2)^2...(x-an)^2+1
在有理数域上不可约

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1楼 2012-10-26 23:19:59

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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

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★
Doctorcbw(金币+1): 谢谢参与

下面的只是个想法。如果f(x)＝g(x)h(x), deg g>0, deg h>0. 由于f(x) 是整系数多项式，所以可以假设 g 和 h 也是整系数的，且首项系数为1. 那么 f(a_i)=g(a_i)h(a_i)=1 对所有的a_i 成立。所以 g(a_i)=1或者－1 对应的h(a_i)=1 或者－1. 如果对所有的a_i,有 g(a_i)=h(a_i)=1 （或者－1）则 g(x)=(x-a_1)(x-a_2)...(x-a_n)+1=h(x). 显然不行。假设 g(a_1)=g(a_2)=...=g(a_m)=1, g(a_{m+1})=...=g(a_n)=-1. 那么g(x)=((x-a_1)(x-a_2)...(x-a_m)g_1(x)+(x-a_{m+1})(x-a_{m+2})...(x-a_n))/2=h(x). 这样也不行。

以上想法课参见 An Irreducibility Criterion for Polynomials Over the Integers, W. S. Brown and R. L. Graham

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