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《高等数学》学习方法（转） 已有6人参与
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新的学年开始，每年都有很多同学进入大学学习《高等数学》，作为一个在教学第一线的教师，我深刻的体会到，有这个必要向这些新同学介绍下如何学习《高等数学》。很多人也许对此不屑，认为学习数学无非就是上课前做做预习，上课好好听讲，作好笔记，然后尽量的多做习题，其实不然，数学的学习需要作题，这个是肯定的，也是不能否认的，但是并不是无限制的做题，盲目的做，所以我自己还是觉得这个问题还是十分有必要谈下的。 高等数学是理工类、经管类专业的基础课，也是报考工科、管理、经济类硕士研究生的必考科目。不少学生对学习高等数学有畏难情绪，我想以具体知识为例介绍自己的一些经验，实践表明这对于学习高等数学以及线性代数、概率统计、工程数学等大学数学课是有助益的。 一、重视基础知识的学习和基本能力的发展 高等数学的基础知识是指它所涉及的基本概念、基本理论和基本方法；基本能力则是指在学习知识的同时还要培养和发展学习能力，它包括与数学有关的运算能力、逻辑推理能力和空间想象能力，以及所谓“一般能力”，例如观察、记忆、理解、应用、分析能力等。 基础知识是构成数学知识系统的基本框架。人的知识应当是系统而有序地分类储存在大脑中的，这样有利于需要时能迅速地将其搜索到。通常可以围绕一个基本概念、一种基本理论或方法形成一个知识点，而且许多知识点之间又有着内在联系，这些知识点的有机联结最终形成一个科学、合理的知识体系。 有一种说法：知识分子一生用到的知识中，大学期间所学的不超过20%，其余80%要靠边工作边学习来获得（终身学习的意义即在于此），因此大学期间主要学两样东西：基础知识和学习方法。宽厚的基础知识使你能继续学习，较强的学习能力使你会学习，并且学得更好。 二、关于学习高等数学的建议 为了便于读者理解，以下陈述均结合高等数学中“数列极限”的内容进行。 1、理解基本概念 （1）了解概念产生的背景和过程 [例1]数列极限概念的背景：古埃及人划分不规则边界的土地问题；银行存款连续复利计算问题；用正多边形逼近圆以计算圆的面积问题等。 多了解一些背景知识有利于对概念的理解，能提高学习兴趣，学过之后可以更好地运用它去解决问题。例如理解数列极限概念对学习定积分和无穷级数中有重要意义。 （2）掌握概念的本质属性 能用自己的话准确地表述一个概念而不是只会背诵定义，是理解概念的重要表现，为此还要从多角度对其进行辨析。 [例2] 关于数列的极限存在即，判断以下命题的真假： （a）当项数充分大时，数轴上表示数列的点与点a的距离可以任意小. （b）若数轴上点a的任何邻域外至多只有该数列的有限多个点 . （c）若数轴上点 a的任何邻域内都有该数列的无限多个点 . （d）若 n无限的增大的时候，则点 xn与点a 的距离愈来愈近. （3）清楚概念与相近概念的内在联系和本质区别。通过概念间的比较和联系能加深对概念的理解。 [例3]什么情况下可以借助函数的极限计算数列极限？数列极限都能作为函数极限的特例来计算吗？ （4）清楚概念的外延。知道哪些对象属于它和哪些不属于它，有利于对概念分类记忆和理解。以数列极限为例，要知道数列极限不存在应如何表述？有几种典型情况——数列是无穷大，或极限不存在也不是无穷大。 （5）掌握概念的主要性质。这是由概念的定义直接导出的结论，掌握它们有利于理解概念和解决问题。数列极限的主要性质有：极限存在则唯一，局部有界性，局部保号性。 [例4]数列各项均大于零且极限存在，其极限也是正数吗？ （6）思考定义的合理性。定义所描述的对象是否存在？这样定义是否合理？这与前述“二、1、（1）了解概念产生的背景和过程”是配套的。 [例5]函数极限x接近于一个确定的a的定义中为什么不要求x一定要取到a？ （7）掌握运用定义及其性质解决问题的方法。概念的定义和性质可以直接解决问题，例如用定积分的定义计算某些特殊数列的极限或判断某些特殊数项级数的收敛性。 [例6]用定积分定义计算极限 [例7]判断级数收敛性。 2、掌握基本定理和基本方法 （1）了解条件和结论的关系。条件是充分的还是必要的？定理证明的主要思路是什么？条件有所变化时对结论有何影响？定理的逆命题是真是假？若为真能否证明？若为假能否举出反例？ [例8]“两数列之和的极限等于各自极限之和”吗？一个极限存在与一个极限不存在的两数列之和或积的极限还存在吗？两个极限都不存在的数列之和的极限一定不存在吗？ （2）清楚定理主要用于解决什么问题以及如何运用。这是非常重要的学习内容，必须通过解题练习和学习后继相关知识后才能有更完整、清晰的认识，因此学习者要注意归纳总结。 [例9]数列 的极限如何计算？直接在所给等式两边取极限可以吗？若不可，当用何种方法？若用单调有界准则时先证单调性还是先证有界性？ （4）通过足够的练习掌握定理和方法。除了做那些直接套用结论就能解决的题目之外，还要做需要对问题的条件或结论进行一定的转换才能解决的题目，这样才可能对基本理论和方法有更清楚的理解，并真正掌握这些理论和方法。 3、重视总结和复习 每次课后都要认真复习，这是目前被许多学生忽视的学习过程。通过复习——阅读教材、笔记和参考书，以及将课上例题自己再解答一次，应能说出今天讲了哪些内容？重点、难点是什么？自己接受了其中哪些内容？运用知识解决问题的水平如何？还有什么问题，怎样解决（自己思考或求教别人）？通常应当用与上课时间相等的时间复习。 在完成了一个阶段（例如一章）的学习后，应对学过的知识进行归纳和总结，因为知识不可能自动形成有条理的东西存入大脑，要做到系统化，简单的方法就是将当前学到的内容整理归类，并注意同类知识内部以及和其他类别知识的联系，这样有利于从宏观上、整体上掌握知识。 [例11] 求数列极限的常用方法。（1）单调有界准则；（2）夹逼准则；（3）极限运算法则；（4）借助函数极限计算（包括洛必达法则）；（5）用定积分定义计算。 4、独立完成作业 做作业的主要目的是熟悉和巩固学习过的理论知识，而且通过作业能发现自己在理论知识学习中的不足。由于作业中的问题不一定都能直接套用理论就能解决，因此这是一次理论与实践结合的过程。必须独立完成作业，不要一旦不会做题就翻看教材中相关例题的解答甚至照搬。对于实在做不出的题目，应当带着自己的问题和思路与别人讨论，使其最终得到解决。无论如何都不要抄袭别人的作业。即使看现成的解答，也要弄懂人家是怎么做的，为什么这样做，然后自己独立地做一次。 5、敢提问题，会提问题 高水平的专家和负责任的教师通过教材、资料和教学告诉学生的东西绝大部分是正确的，因此我们首先要认真地“读”和“听”，但是又不能迷信，即认为他们说的都是真理。为此大学生要养成勤于思考和大胆提问的习惯，不要担心提出的问题有错误、太幼稚或者得不到解答，即使这个人不愿意回答或不能回答或回答不令你满意，也还可以再去问别人或干脆自己查资料。不过这里确实存在着如何提问的问题，我的经验是自己先有一个初步看法，然后再和别人讨论，这样往往有效果，因为这时问答双方在学术面前的地位是平等的。一定要形成求真务实的学风，不要轻易地放过哪怕是很小的问题。 （一）怎样听讲 对于教师在课堂上讲的知识，最重要的是获得整体的认识，而不拘泥于每个细节是否清楚。在教师证明定理与推导公式时，重要的是要理解其中的思路。只要掌握了主要思路，即使某些细节没有听清楚，也没有关系。你自己完全能够在这个思路的引导下将全部细节补足，最后推出结论。 成功的课堂教学不在于是否讲细讲透，不是课堂完全解决问题。课堂教学应当把主要思路，重点与难点交代清楚，而将部分细节留给学生。课堂教学要为学生留下值得思考的问题，学生在课堂上听课时，也应当把主要精力集中在教师的证明思路和对于难点的分析上。如果有某些细节没有听明白，不要影响你继续听其它内容。作为21世纪的大学生，肩负知识创新使命的未来科学技术人才，应当在学习的各个环节培养自己的主动精神和自学能力，摆脱对教师与课堂的过分依赖。这不仅是今天学习的需要，而且是培养创造能力的需要。 （二）怎样预习和复习 适当的预习是必要的，如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。 复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。另外，复习时的思路不应当教师讲课或者教科书的翻版，一个可供参考的方法是采用倒叙式。从定理的结论倒推，为了得到定理的结论，是怎样进行推理的，定理的条件用在何处。这样倒置思维方式，更加接近这个定理的发现的思路，是一种创造性的思维活动。 如何复习概念？首先对于重要的定义，要大家能够用自己的语言正确地进行复述。这是理解和应用它们的前提条件。其次，尽可能用具体形象的例子解释或者表现抽象概念，你能举出越多的实际例子说明某个概念，那么你对这个概念的理解就越加生动和深入。一般来说，学习数学不能死记硬背，这无疑是正确的。但是在某些情况下，背诵定理的证明，对于理解和掌握证明的思想方法也确实是有用的。其奥妙在于通过反复背诵定理，深切地体会，进而掌握了定理的证明思想，这种方法对于某些数学课程是有效的。 （三）怎样解题 学生在学习高等数学过程中，更多的困难来自于习题。首先，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。上面已经提及，提高解题能力重要途径之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因为高等数学题型变化多样，解题技巧丰富多彩，许多类型的题目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就会作的。需要看一些例题，或者需要教师的指点。不要因为某些题目一时找不到思路而失去信心。 至于如何解题，教师很难总结出几个适用于所有题目的通用的方法。怎样提高自己的解题能力？我认为，除了天生的智力因素之外，解题能力首先取决于基本概念和基本原理的理解与掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，尽可能地多做题目，是提高解题能力的重要途径。另外，做题要善于总结，特别是从不同的题目中提炼出一些有代表性的思想方法。 （四）怎样看参考书 尽可能多地参考一些书籍会使你开阔眼界，增长知识，加深理解。看参考书有两种方式，其一是通读某一本书，不过大家往往没有太多的时间去通读教材之外的书。所以我建议大家采用第二种方法：以问题为中心，有选择地读参考书，具体地说就是：如果你对微积分中的某一部分，或者某个问题有兴趣，希望多了解一些，作比较深入的研究，那么可以查阅几本书，看一看其他书上对这个问题是怎样论述的，在学习的基础上，自己可以做一个小结，在是自学的重要方式。 好的辅导书对于帮助自己学习高等数学也是有用的，但是使用辅导书要注意方法，不要仅仅停留于逐个地看例题，看得懂不等于会做，想到思路不等于做得完全正确。如果你想扎扎实实地提高解题能力，就要认真地、独立地解题，通过自己动脑动手体会解题的思路、方法和技巧。 [ Last edited by happynat on 2012-10-22 at 22:50 ] |
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