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qiong2012

金虫 (初入文坛)

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[求助] 求助拓扑高手！！！怎么证明等距的题？

求助拓扑高手！！！怎么证明两个离散空间是等距的充分必要条件是它们的基数相等？万分感谢！！！

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1楼 2012-10-13 19:16:57

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kyzcf

铁虫 (初入文坛)

应助: 2 (幼儿园)
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专业: 泛函分析

【答案】应助回帖

★ ★ ★ ★ ★
qiong2012: 金币+5, ★有帮助 2012-11-14 22:37:26

必要性：由于X和Y等距，故存在一一映射，从而|X|=|Y|
充分性：因为|X|=|Y|，故存在X到Y的一一映射f。又因为X和Y均为离散空间，d(x,y)=1,x不等于y;d(x,y)=0,x=y;
当x不等于y时，f(x)不等于f(y)，故r(f(x),f(y))=1=d(x,y);当x=y时，f(x)=f(y),r(f(x),f(y))=0=d(x,y)。
故f为X到Y的等距映射

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2楼2012-11-14 20:18:17

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