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我欲无痕

铜虫 (正式写手)

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=0, 非0矩阵A半正定，则B<0.

（1）若>=0, 非0矩阵A半正定，则B<0.
(2) 任给的非0向量X， X^TAX>0等价于A>0.
谁能告诉我这两个结果的为什么是对的啊

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阳光总在风雨后

1楼 2012-10-13 09:24:32

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秋雨飞叶

木虫 (小有名气)

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【答案】应助回帖

★ ★ ★
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小雨萌萌: 金币+3, 谢谢应助~ 2012-10-25 20:51:26

根据定义，B<0 当切仅当 PBP^{-1}<0，这里P为任意可逆矩阵。另外Tr(AB)=Tr(PABP^{-1}). 因此我们可以假定A是对角矩阵，且对角线都为非负数。从而Tr(AB)=\sum a_ib_{ii}>=0. 然而根据你的条件不能推出B<0. 例如A和B都取成单位矩阵。所以我假定 Tr(AB)<0. 另外，假如你的A和B都是对称矩阵，那么问题就很容易了。可以取一个可以对称矩阵P是的 PBP^{-1} 为对称矩阵。 Tr(AB)=Tr(PABP^{-1})=Tr(APBP^(-1))<0. 从而 B必须是负定的。注意如果A和B不是对称矩阵那么Tr(AB)＝Tr(BA)不一定成立。当两个都是对称矩阵的时候。 AB=A^TB=AB^T. 那么Tr(A^TB)=Tr(B^TA)=Tr(BA).