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cyx225009

银虫 (初入文坛)

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[求助] 请问圆内、圆上、圆外点的数目多少如何比较？

请问圆内、圆上、圆外点的数目多少如何比较？

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1楼 2012-10-12 20:19:06

已阅回复此楼关注TA 给TA发消息送TA红花 TA的回帖

木子化十文武

金虫 (小有名气)

应助: 1 (幼儿园)
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性别: MM
专业: 凝聚态物性 II ：电子结构

【答案】应助回帖

很显然，三者的点的个数都是无穷多个，在数学上进行无穷多个的比较时，我们引入“势”的概念，我们比较的也是“势”。两个集合A，B之间如果能建立一一映射，那么它们的“势”是相等的；如果能建立从A到B的单射，那么我们说B的“势”大于或等于A的“势”；并且根据“势”而建立的集合之间的关系是等价关系。有了上述说明之后，我们的问题就好说了：首先定义两种常见的“势”，整数集Z的“势”我们称作阿列夫零，自然数集R的“势”我们称作阿列夫，圆内圆外以及圆周都可以跟自然数集建立一一映射，所以我们说三者的“势”都是阿列夫，从这个意义上说，三者的点的数目是一样的。
但是，比较方法并不止这一种，数学中每个学科看重点不一样，拓扑学家大多用“势”来描述点集之间的关系，而测度学家则用测度来描述点集之间的大小关系，单位圆内的勒贝格测度是Pi，单位圆周的勒贝格测度是0，而圆外的勒贝格测度是无穷，从勒贝格测度意义，园外点个数》圆内点个数》圆周点个数。我刚才指勒贝格测度意义下是这种关系，其实欧式平面上测度有千万种，每个测度之下，你会有不同的个数大小关系，不管怎么说，要从出发点来考虑，任何事物都不是绝对的，要从不同观点去看，才能得到理想的答案。