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从EPR到量子信息[转]
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月亮是否只有人看它时才存在？ 一、EPR的历史： 量子力学自诞生之日起，周围就充满了物理学家们对它的疑虑与争论，争论双方一 方是以玻尔为首量子力学的捍卫派，他们坚信量子力学是对物质世界客观真实的描 述；另一方则是以爱因斯坦为首的怀疑派，他们坚信量子力学并不是对物质世界客 观真实的描述，它背后隐藏符合相对论局域实在的更深层次理论。这场争论旷日持 久，随着1935年“薛定谔猫”和“EPR佯谬的提出而达到顶峰。 EPR是爱因斯坦与他当时手下两个研究生波多尔斯基（B.Podolsky ）和罗森（N.Ro sen ）三人姓氏开头字母的缩写，他们于1935联名发表一篇论文，以思想实验结论 的方式对量子力学的完备性提出了质疑。 爱因斯坦局域（定域）实在论观点： 1、物理实在是独立观测者而客观存在的。 2、两粒子间信息（or相互作用）传递速度不可超过光速，不存在超距作用。 爱因斯坦等人考虑两个粒子A 和B 组成的一对总动量总自旋为零的粒子对（称为 E PR 对），两个粒子随后在空间上分开距离很大，以至对粒子A 进行的任何物理操作 都不会对粒子B 产生干扰。如某时刻两者之间的距离为a，此时测得粒子A 的位置为 x1, 意味着测得粒子B 的位置为x1-a；如测得粒子B 的动量为p ，就意味着测得粒 子A 的动量为-p ；这就是说对粒子A 的位置和动量都进行了测量，相当于对粒子B 的同一物理量也进行了测量。这恰好于量子力学测不准原理，即不能同时确定一个 粒子的位置和动量相矛盾。 对于“EPR”来说，若单独测量 A（或 B）的自旋，则自旋可能向上，也可能向下， 各自概率为1/2 。但若测得粒子 A 的自旋向上，那么，粒子 B不管测量与否，必然 会处在自旋向下的本征态上。爱因斯坦认定真实世界绝非如此，粒子 B 决不会受到 地球上对 A 测量的任何影响。因此下列结论二者必居其一：1、存在着即时的超距 离作用（超光速的作用），在测量粒子A 的位置的同时，立即干扰了粒子B 的动量 。2、一个粒子的位置和动量本来同时是有精确值的，只是量子力学的描述不完备。 由此得出的结论是量子力学不足以正确地描述真实的世界。玻尔则持完全相反的看 法，他认为粒子 A 和 B 之间存在着量子关联，不管它们在空间上分得多开，对其 中一个粒子实行局域操作（如上述的测量），必然会瞬间（超光速）导致另一个粒 子状态的改变，这就是量子力学的非局域性。 EPR佯谬揭示了这样一个现实：如果量子力学是完备的理论体系，那么它与相对论有 着本质上不可调和的矛盾。真实世界是遵从爱因斯坦的局域实在论，还是玻尔的非 局域性理论？这场争论一直持续多年无果。 1951年普林斯顿大学的玻姆（Bohm）率先提出了隐藏在量子力学背后，符合局域实 在论的“隐变量”理论，量子力学是它的近似。 1964年，贝尔（J.S.Bell）提出任何符合爱因斯坦局域实在论的隐变量理论都将不 能和量子力学相容，并用玻姆的理论对实验推导出了一个不等式，即有名的“贝尔 不等式”（推导过程较繁不便书写）。如果隐变量理论正确，那么试验结果会符合 这个不等式，如果量子力学正确，结果则相反。 从1982年以来，世界各地陆续的试验结果均不同程度地违反了贝尔不等式，于是这 场物理学的世纪争论便有了一个了断：1、量子力学是正确的，它背后不存在隐变量 理论。2、量子力学不符合局域实在论，EPR佯谬恰恰反映了量子力学本质上的非局 域性。 回首这场争论，玻尔一直处于防守姿态（缺乏物理上说服他人的道理），而爱因斯 坦的进攻则一直触摸到了量子力学的本质，显然爱因斯坦对物质世界的理解要更深 一些，因此与其说是玻尔赢得了这场胜利，到不如说爱因斯坦输给了神秘的大自然 。 我们把EPR对这种两个粒子之间的非定域关联称做“纠缠”（属于可用一个波函数描 述的纯态） 例：1/√2（|↑↓>+|↓↑>），箭头代表每个粒子自旋取向。 既然对其中一个粒子的测量可以使另一个粒子瞬间非定域地坍缩到某个态上（例如 上式如果测得粒子A自旋向上，那么粒子B自旋坍缩到向下状态，反之亦然。），那 么是否可以用它传递信息？EPR与传统信息学的结合导致量子信息学应运而生。 二、量子信息学： 1 经典信息不可克服的困难。 1948年，美国工程师香农（C.E.Shannon）创立了信息论，标志着信息学成为一门独 立的学科而发展起来。信息学主要由信源信宿处的信息处理和信道的传输两部分组 成，一个显然的例子就是计算机终端以及电线和光纤铺成的互联网。 就信息处理而言，从电子管到晶体管，到大规模集成电路，应该说传统信息处理的 发展主要依赖于半导体材料发现与应用，虽然半导体的特性本质上是用量子力学描 述的，但计算、存储等所有对信息的处理过程都是靠微小电路完成的，完全靠经典 物理学描述，所以说我们用的每台电脑都是经典的信息处理器。 就信息传输而言，目前无论是靠无线电信号，还是点对点的宽带光缆或普通电线， 信息均是以电磁波或电流的形式在处理器间互相传递。因此信息传输同样靠经典的 电磁定律来描述。 按照摩尔定律，计算机CPU每8个月处理速度会提高一倍，单位面积的硅片上电路元 件也会大量增加。可是如今这种速度明显放慢了。INTEL P4 2.4GHZ蚀刻的电路宽度 已经达到微米量级，当宽度小于0.1微米时，由电子波动性产生的量子效应已经不可 忽略，这种CPU已经不能正常工作，因此能否进一步提高CPU的处理速度，已经成为 人类能否从工业时代步入到信息时代的关键。 就像经典物理学的统治地位已被量子物理学取代一样，建立在经典物理学基础上的 经典信息学最终会被建立在量子力学基础上的新信息学——量子信息学所取代。而 由EPR所引出的“纠缠态”概念，正是整个量子信息学的基础。 2 量子信息与经典信息比较： （1）经典信息学一个比特的两个状态0和1，该比特要么处于0状态，要么处于1状态 ，从而实施2进制计算。 量子信息学一个比特称为qubit,该比特可以处于态|0>和|1>任意的线性叠加态上:| φ>=a|0>+b|1> （a*a+b*b=1),一般情况下用一个BLOCH球表示：|φ>=cos^2(θ/2) exp(-iφ)|0>+sin^2(θ/2)exp(-iφ)|1>，球面上的态为纯态，球内为混合态。当 然更具有广泛意义的是2-qubit的“纠缠态”，4个2-qubit最大程度纠缠态为：1/√ 2（|00>+|11>），1/√2（|01>+|10>），1/√2（|00>-|11>），1/√2（|01>-|10> ）叫做4个BELL基。 （2）经典信息信息量由香农熵H(x)=-p(x)logp(x)描述。 量子信息信息量由冯诺伊曼（Von.Neuman）熵S(ρ)=-Tr(ρlogρ)描述。ρ为量子 力学密度矩阵，由于量子信息多以0和1的叠加，纠缠甚至混合态存在，一般耗费同 样物质资源情况下处理量子信息的信息量量要大于经典信息。 （3）经典信息可以任意copy不会改变原来信息。 量子信息遵循量子不可克隆原理，任意对原信息的读取和操作将会改变原来信息状 态，这个性质可以应用到量子信息保密传输中（见后文）。 ……………… 限于篇幅许多专业程度上的比较暂不一一介绍了，总之量子信息为信息学带来了革 命性的观念和进步。 3 量子信息的传输 EPR在量子信息中最重要的应用就是量子隐形传态（quantum teleportation）。在 科幻小说中，有过一个人在某个地方突然被分解消失掉，身体组成的一切信息被传 输到另一个地方，在那里将其他物质用该信息组合起来，于是这个人又在远方出现 了。这便是远距隐形传物（teleportation ）的概念，它仅仅是一种幻想。而量子 隐形传态根据量子力学原理却是真实可行的。 首先A，B双方分别拥有一个处于两体纠缠的粒子2和3，他们共享纠缠态1/√2（|01 >-|10>）。 A将所要传输的粒子1的态|φ>=a|0>+b|1>与该纠缠态进行联合测量a|0>+b|1>）×1 /√2（|01>-|10>）（HILBERT空间直乘），然后将他们坍缩到某一个特定的BELL基 上，求得直乘后的总态在该BELL基上的投影态。 A的测量后，整个波函数以一定的概率随机地塌缩到该贝尔态上，此时B 手中的粒子 3 立即塌缩到与之对应的投影态上。这意味着粒子1 和粒子2 纠缠在一起，而粒子 3 与粒子2 解除了纠缠。 然后A通过经典信道（例如打电话）通知B她的测量结果，B便对粒子三通过相应的幺 正变换得到粒子1原先的态，隐形传输完成。 国际上量子信息界的大牛Bennett曾于1984年和1992年分别提出过BB84协议和B92方 案，按该方案传输量子信息过程中如果有人窃听，那么所传输的信息状态将会改变 ，发送与接受双方只需要通过经典信道核对几组信息就可以断定是否有人窃听。量 子信息传输的安全性要远大于经典信息传输，因此一旦实现便会具有极大的情报甚 至国防意义。 4 量子信息的处理——量子计算机 量子并行计算的能力来自于量子态的可叠加性，是量子信息理论应用的一个重要分 支。 量子计算机对每一个叠加分量实现的变换相当于一种经典计算，所有这些经典计算 同时完成，并按一定的概率振幅叠加起来，最终给出量子计算机的输出结果，以这 种方式实现的信息处理叫量子并行处理。量子并行处理大大提高了量子计算机的效 率，使得其可以完成经典计算机很难完成的工作。 问题的计算时间若以计算项数幂次上升的计算量完成，我们称此问题为P-问题（P 为英文多项式Polynomial 的第一字母），包含所有此类问题的集合以 P 表示。NP 是英文 nondeterministic polynomial 的缩写，意思就是（时间）非确定性的多 项式。 经典计算中存在着一大类NP 问题。这类问题在经典计算机上是不能计算的，但是量 子计算可以把其中的一部分NP 问题变成P 问题，即问题的复杂度随着比特位数的增 长以多项式数量级上升。这类问题原则上是可以计算的。一个具体的例子就是大因 数分解，按经典计算复杂性理论，这个问题不存在有效算法，所以被利用来进行经 典密钥分配。但是如果用量子计算机结合Shor 量子算法，这个问题就变成了P 问题 。例如，为了对一个400 位的阿拉伯数字进行因子分解，目前最快的超级计算机将 耗时上百亿年，这几乎等于宇宙的整个寿命；而具有相同时钟脉冲速度的量子计算 机只需要大约一分钟。 1994 年Shor 等人提出了一种大因素分解的量子多项式算法，引起了轰动。Shor 算 法的核心是利用数论中的一些定理，将大数因子分解转化为求某个函数的周期。通 过对储存器中的纠缠态实施“量子傅立叶变换”，从而完成经典计算机无法完成的 大数因子分解。 在量子算法不断创新完善同时，量子计算机的物理实现（主要为量子逻辑门的构造 ）也在探索当中，目前已经提出的方案主要利用了原子和光腔相互作用、冷阱束缚 离子、电子或核自旋共振、量子点操纵、超导量子干涉等。现在还很难说哪一种方 案更有前景，只是量子点方案和超导约瑟夫森结方案更适合集成化和小型化。 迄今为止，世界上还没有真正意义上的量子计算机。但是，世界各地的许多实验室 正在以巨大的热情追寻着这个梦想。研究量子计算机的目的不是要用它来取代现有 的计算机。量子计算机使计算的概念焕然一新，这是量子计算机与其他计算机如光 计算机和生物计算机等的不同之处。量子计算机的作用远远不止是解决一些经典计 算机无法解决的问题了。 从EPR到量子信息，爱因斯坦和玻尔两位伟人做梦也不会想到这场争论很可能会导致 人类科技又一次重大变革。理论物理每前进一小步，人类文明往往前进一大步。量 子计算机能否实现会直接决定人类能否全面进入信息时代。尽管有些物理学家量子 信息的前景不看好，但更多的人信心百倍投入这个工作中来。借用一句话：“昨天 的梦想，是今天的希望，也可能是明天的现实！” 附： 1量子信息相关定理及其理论诞生年表 1948 年 信息理论的诞生（C.E.Shannon, 1948 ） 1973 年 Holevo 界限定理（A.S.Holevo, 1973 ） 1973 年 可达到信息量的理论( A.S.Holevo, 1973; E.B.Davies, 1978 ) 1984 年 BB84 协议（C.H.Bennett G.Brassard 1984 ） 1985 年 量子图灵机的提出（D.Deutsch 1985 ） 1992 年 量子高密度代码理论（C.H.Bennett S.J.Wiesner 1992 ） 1993 年 Holevo 界限定理向无限维的扩展 ( H.P.Yuen, M.Ozawa 1993) 1993 年 量子离物传态理论（C.H.Bennett G.Brassard C.Crepéau R.Jozsa A.Pe res W.K.Wootters 1993 ） 1994 年 基于量子计算机的质数因数分解的快速算法（P.W.Shor 1994 ） 1995 年 量子信息源编码理论（Schumacher ） 1995 年 量子纠错编码理论（P.W.Shor A.M.Steane ） 1996 年 量子纯粹状态信道编码定理 ( P.Hausladen, R.Jozsa, B.Schumacher, M.Westmoreland, W.K.Wootters, 1996 ) 1996 年 CSS 代码理论（A.R.Calderbank P.W.Shor 1996; N.J.ASteane 1997 ） 1996 年 量子纠缠态纯化协议（C.H.Bennett G.Brassard S.Popescu B.Schumache r J.A.Smolin W.K.Wootters 1996 ） 1996 年 基于量子计算机的数据库检索问题的快速算法（L.K.Grover 1996 ） 1996 年 面向混合状态一般化量子信道编码定理( A.S.Holevo, 1996; B.Schumach er and M. Westmoreland, 1997 ) 1997 年 Stabilizer 代码理论（D.Gottesman 1996 ; A.R.Calderbank E.M.Rains P.W.Shor N.J.ASloane 1997 ） 1997 年 量子信道容量理论（B.Schumacher M.D.Westmoreland 1997; A.S.Holevo 1998 ） 1998 年 面向连续系一般化量子信道编码定理( A.S.Holevo ) 1998 年 量子信赖函数的理论（纯粹状态）（M.V.Burnashev, A.S.Holevo ） 1998 年 量子切断率理论（纯粹状态）（M.Ban, K. Kurokawa, O.Hirota ） 1998 年超加法性的存在性证明（M.Sasaki, K.Kato, M.Izutsu, O.Hirota） 1998 年 信道容量的数值解法（H.Nagaoka, 1998) 1998 年信道编码的逆定理的证明、量子有本界限的证明。(T.Ogawa, H. Nagaoka) 1999 年戴维斯定理的扩展（M.Sasaki, S.M.Barnett, R.Jozsa, M.Osaki, O.Hiro ta ） 1999 年简单状态最大相信息量：C1 的严密证明（纯粹2 维）（M.Ban, K. Kuroka wa,O.Hirota, 1999; Osaki, 1999 ） 1999 年 信道容量的解析解 离散系：对称信号（K.Kato, M.Osaki, O.Hirota） 1999 年 信道容量的解析解 连续系：高斯信道(A.S.Holevo, M.Sohma, O.Hirota) 2 中国的量子信息学研究概况 如果说目前国内物理领域哪方面的研究可以达到世界领先的话，毫无疑问是量子信 息。在中国科技大学的校园中，两支力量集中了几乎全部国内量子信息界顶尖的专 家学者，一支是近代物理系（4系）潘建伟教授领导的小组，主要从事多光子纠缠以 及量子隐形传态的物理实现，另一支是物理系（2系）郭光灿院士领导的中国科学院 量子信息重点实验室，主要从事量子信息理论，量子计算，量子纠错等诸多方向研 究。 潘建伟：世界上顶尖的量子信息年轻学者，2004年中国十大杰出青年，论文入选英 国《nartue》杂志20世纪最杰出的20篇论文，每年都有若干高水平论文刊登在《na rtue》杂志和PRL上，不久前刚刚获得欧洲物理学会颁布的“菲涅耳奖”。可以说他 取得了建国后中国物理学家前所未有的成绩。也许是为了不分心，年轻的时候能更 好地全心投入科研工作，今年他放弃了参评院士的机会。 段路明：郭光灿院士的头号弟子，中国科学院量子信息重点实验室副主任，曾在上 世纪末和本世纪初几年内在Physics Review系列（世界物理学界最权威的专业期刊 ）上以第一作者身份连续发表众多高水平文章。据说他读博士期间总共发了30余篇 PRL和PRA。如果说潘建伟发nartue像发帖一样，那么段路明发PRL简直就像灌水了。 以上两位刚刚年过30，便成就斐然，记住这两个名字，未来国内的量子信息研究将 会是他们的天下。 中国量子信息研究除了中国科技大学一枝独秀以外，国防科技大学迫于量子信息传 输巨大的国防价值也较早涉足这个领域，取得了一定的成果，北大和清华在很早以 前也联合成立了教育部量子信息重点实验室。中科院武汉物数所与中科院上海光机 联合成立的国家冷原子中心也开展了在冷原子条件下量子计算机的物理实现研究。 不久前中科院物理所也专门成立的固态量子信息实验室，用以研究凝聚态物质中量 子计算机的物理实现。 3 作者的感慨： 在科大一年的研究生基础课学习中选了《量子信息导论》这门另我毕生难忘的课。 任课教师周正威老师同样来自国科学院量子信息重点实验室，是郭光灿和段路明的 同事，发表过多篇PRL和PRA。在我的印象中从小到大头一次学到这么难的课，每次 都坐教师前面认真听讲，仔细记笔记，可是到最后发现还是什么都听不懂。这个实 验室过高学术要求体现在期末考试上，结果是试题量大管中巨难，放眼望去一片茫 然，3个多小时开卷愣没答完！感觉这门课是在量子力学基础上融入了信息论，通讯 原理，计算机原理等多门课程的内容，短期内很难入门开窍。 我并不指望一篇科普文章能原原本本展示这个领域的大概，因为在写作过程中，哪 些内容适合科普，哪些适合省略我还没有掌握好尺度。因此我最大的目的就是能让 大家知道：有这么一个与基础量子理论关系最密切的应用研究，它的成果将对人类 产生深远影响，有这样一些物理工作者为了实现这个梦想而奋斗着。 重操改歌词旧业，献上在期末复习这门过程中郁闷之极而改写的《退相干以后》： 《退相干以后》 （改编自林俊杰《一千年以后》） 非定域的节奏， 波函数不独有。 纠缠是绝对承诺不说， 撑到退相干以后。 EPR对，从未分开， 谁在隐形传输我们的纯态。 广义测量坍缩向了我， Bell基下你需要的爱。 因为在退相干以后， qubit早已不是我。 无法遍历整个Bloch球， 关联着你温柔。 别等到退相干以后， Schmit分解不掉我。 伴着Von.Neuman熵到来， 能有谁？纠错永远分离的悲哀…… |
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