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解析时空的量子化与时空波函数
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第一节 康普顿效应 以下我们在微观（10-10m -- 10-14m）的范围内，讨论解析时空理论量子化问题。 由式（2-1）： δ= l'(1-cosq) 我们引入康普顿波长lc，（lc = h/mc = 2.426×10-12m） 令 l'= lc 代入上式，则 式（2-2）即为散射的X射线康普顿公式，时空偏角q为康普顿散射角。 1923年，康普顿(Compton)发现被散射的X射线波长有增大现象，称为康普顿效应。当时认为是光子与电子碰撞的结果，因为通过赋予光子以能量hv和动能hv/c将光子间的碰撞用理论公式描述这一过程，并得到了上述公式[1]，这个著名公式把光子的波长增长用散射角q及基本常数组合h/mc表示了出来。以上可以看出用解析时空的偏转概念解释了X射线散射问题，避免了碰撞理论的复杂计算，迈出了解析时空量子化的第一步。 [1] 《经典和近代物理学》第四册 P. 130 [美] K.W. Ford著，陈纲等译 高等教育出版社(1983) -------------------------------------------------------------------------------- 第二节 解析时空的基本性质 为什么本文所介绍的新的时空理论称之为解析时空理论？时空是否真的‘解析’？解析时空的特点、性质是什么？在解析时空扩展之前，我们先前还要对解析时空理论的基本概念做进一步的讨论： 首先设平面运动系 (S') 为一个复数 z' = x' + iy' 的集合G'；同时设另一平面观测系(S)为一个复数 w=u+iv的集合G。根据式（1-20）,（1-21） x = x'cosq - y'sinq y = x'sinq + y'cosq 令u=x, v=y，显然,z'与w存在一个确定的法则，使运动系(S')集合G'中的每一个复数z'相对应的另一个复数为 w=u+iv, w =(x'cosq-y'sinq)+i(x'sinq+y'cosq), 我们称观测系复数w为运动系复数z'的复变函数，记作 w=f(z')。 为研究方便起见，我们在后面的公式中将全部去掉运动系变量上面的撇“’”，x'改写为x； y'改写为y。 即 w = f(z) z=x+iy (2-3) 或 z=reia (2-4) 其中: r=(x2+y2)1/2 , argw=a, tga=x/y w = u+iv (2-5) u = xcosq - ysinq (2-6) v = ycosq + xsinq (2-7) 由复变函数的映射概念: 函数 w = f(z)在几何上是把z平面的点集G'变为w平面的点集G的映射，在时空的物理意义上我们称z为时空原象，w 为时空映象。 时空映象由映射 w = zo z (2-8) 决定。 (2-8)式中 zo= cosq + isinq zo=roeiq (ro=1) \ 有 w = eiq reia w = rei(a+q) (2-9) 以上我们把解析时空的平面旋转概念引入到复变函数领域，由复变函数的定义，我们知道运动系(S')的各点z1, z2,……zn在观测系(S)，通过映射w = zo z，平面坐标相应地分别为w1, w2,……wn, 在几何上，zn与wn的位置发生了变化，当然在z平面的图形也会产生变化，就是说观测系中观测到图像与运动系的时空原像不同。由式（2-4）及（2-9）比较可看出实际上w, z的区别在于w比z偏转了一个角度q ，而角q正是我们上一章原理(II)中所定义的时空偏转角，这一结论与解析时空的偏转概念相符。 总结以上所述内容，我们得出解析时空在复变函数意义上的几个基本特点和性质： 运动系z中的各点z1, z2,……zn组成的时空原象，映射后变成观测系w的时空映象w1, w2,……wn时空原象与时空映象不同。 时空映象由映射w=zo z决定[或w = rei(a+q) ] 由于| zo| =1 所以时空映象与时空原象相比没有伸缩变化，只是时空映象比时空原象旋转了一个角度q ，即观测系与运动系相差的时空相位角为q 。 时空相位角q是独立变量，与时空原象z无关。 由于复变函数w的辐角Argw=(a+q)+2kp（k为任意整数），故时空的映象不是唯一的，有无穷多个。 以下讨论偏转时空的解析性问题，根据柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann): 若f(z)在定义域D内任一点可微，且时空映象函数f(z) = u(x, y) + v(x, y)i满足上述条件，则函数w在D内解析。 由式（2-6），（2-7） u = xcosq - ysinq v = ycosq + xsinq 即时空映象函数w=f(z)为解析函数，也称解析时空函数。 由复变函数有关解析函数的定理可知： 曲线u(x, y)与v(x, y)是正交曲线。 f(z)=u+vi的实部和虚部都满足拉普拉斯方程(Laplace)： u(x, y)和v(x, y)为共轭调和函数。 -------------------------------------------------------------------------------- 第三节 解析时空的量子化 在上一节中我们已经讨论了解析时空在复变函数下的性质，并给出了时空原象和时空映象的关系式（2-9），即w = rei(a+q)。我们假设时空偏转角q与一沿X方向振动的波函数有关， 且q = wt , t = x/u, uT = l (r、a视为常数） （2-10）式表示在复变函数w(x)下该平面波的波动方程，以下将w(x)对x取二阶导数： 代入(2-11)式， 将w换成习惯的 y ，及 E = Ec+U, (2-12)式即量子力学的基本方程，在量子力学中它是一种假设方程，在解析时空的复变函数下，薛定谔（Schrödinger）方程是解析时空理论的推论，但这还不能算作是严格意义的理论推导，因上面推导过程中用到了量子理论和相对论的几个基础概念：E= hv, E=mc2 及 E=2Ec 。因此，我们有必要从解析时空理论的时空偏转原理出发，对量子理论和相对论的基础概念重新认识，进而得到更广泛、更深刻并将量子理论和相对论连系在一个方程下的新的数学表达式----时空波函数。 设一平面余弦行波在无吸收均匀媒体中沿X轴传播，波速为u，质点振动位移用y表示，y0为振幅，我们知道该质点的振动方程为： y = y0coswt (2-13) 又根据第一章中式（1-1） l = l'cosq 并将 l, l'分别用y, y0表示，则 y = y0cosq (2-14) 比较（2-13），（2-14）两式，若（2-14）式中的时空偏转角q以匀角速度变化，且时空偏转角与时间t存在线性关系 | q |= wt，[取绝对值是因cosq=cos(-q)]则（2-13），（2-14）两式等同，表示任何质点的自由振动的波动方程，即为时空波动方程，从更广义的意义上讲，任何简谐运动均属于时空波动方程的表现形式，我们已经不仅把（1-1）式看成描述空间变化的关系式，它已成为运动时空以波的方式传递不同时空体系的信息的表达式：时空波动方程。 由（2-14）时空波动方程式 y = y0cosq，我们看一看由q = wt会引出怎样的结论。 沿y方向的速度u为： 根据解析时空理论原理（II），将（2-15）式代入： 式中负号表示时空偏转圆频率方向与波粒子的波函数圆频率w方向相反，但绝对值相等(或相位差为p)。 若 |q| = wt, 则 y0w = c y0 = cT/2p (2-16) 将（2-16）代入（2-14）得到： （2-17）式表示波长（或频率）给定情况下，运动粒子的振幅的观测结果与时空偏转角的关系式。（实际振幅y0为波长l的1/2p倍） 以下讨论时空波的能量问题，在此之前我们必须加一个限定条件，即时空波函数对观测者而言应满足y≥0，因为空间不能为负值！同样应有能量E≥0。如图2-1：在周期T内，满足y≥0的区域为[0,T/4]和 [3T/4,T]，相对应的时空偏转角q范围是[0，p/2]，和[3p/2，2p]。 注：t=0是人为设定的相对时间起点。 由式（2-15）及(2-16) （2-18）式中的E仅表示时空波函数在某一时刻的能量，我们需求出E(t)在任一波动周期T内E的总和（我们称之为量子能量EQ），因时空波函数对观察者而言在区间[0，+2p]上是不连续的；因此，ΣE（量子能量EQ）不能在区域[0,T]内用sin2wt 的平均值方法求出。这里我们引入一个波的功率概念，若t1时刻的波能为E1，t2时刻的波能为E2，有ΔE=E2-E1 波能在Δt内的平均变化率应为ΔE/Δt，，波在t时刻的功率W大小应为当Δt→ 0时，ΔE与ΔT比值的极限。 以上结果表明时空偏转角q在区间[0，p/2]上对应的T/4内，粒子的动能ΣE=EC=mc2/2（EC表示经典能量），它与波能是相等的。 对于时空偏转角q在区间 [0, +¥ )有关波能的讨论属量子力学范畴，我们通过图2-1来加深对这一概念的认识。从图中还可以清楚地看出，在一个波动周期内量子能量EQ等于经典能量EC的2倍, 用简单的话说即经典能量EC属时空偏转角q在区间[0，p/2]对应的能量，而量子能量EQ则属于时空偏转角q在区间[2kp，2(k+1)p]内的正能量或是在每一波动周期T内的单位正能量，（任一周期内能量代数和为零，我们只能测到正能量！）且EQ、EC存在如下关系： 即 EQ=2EC=mc2 (2-20) 而在（T/4, 3T/4）区间内能量为负值。负空间、负能量均为经典理论禁区。对观察者而言，我们只能测到一份份能量，能量在区间上 [0, +¥ )不是连续的，每一份能量在[0，2p]区间上为mc2。在整个区间[0，+2kp）内波能以等量、等间隔出现，这一现象就是在量子力学中通常所说的能量的量子化。能量的量子化的根本原因在于空间的不连续性！ [注：图2-1中仅为便于理解而标出的能量分布，应该指出的是正空间里有负能量存在，而负空间中也有正能量。关於能量的具体分布状况(例如：为什么量子"自旋"两周才回到原态?)及有关时空意义下的能量本质的详细讨论将在下一章中进行。] 前面谈到了波的能量公式（2-18）不能采用计算sin2wt在区间[0，T]平均值方法求出量子能量EQ，除了时空波函数在该区间不连续（对观察者而言）的原因外，还有一个简单的数学原因，即在给定区间内,能量的平均值不等于在定区间内能量的和。时空波是简单的弹性波。 关于ΣE（或EQ）的一般解应为： 根据（2-19）式: 即W(t)= mc2v, 代入（2-21）式，则量子能量EQ = (mc2T)v 令 h = mc2T， 上式结果为：EQ= hv (2-22) h显然是个常数，它就是量子力学常用到的普朗克常数 h = 6.63X10-34Js 至此，我们已经通过时空波函数方程得到了广义相对论及量子理论关于能量的基本表达式： EQ= mc2, EQ=hv 及 EQ=2EC 这样我们可以从时空波函数方程出发直接严格地证明薛定谔方程，使其从量子理论的‘假设’成为解析时空理论的时空波函数方程下的一个理论结果！ |
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