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哇咔咔，谁能给我讲讲同构环咩~
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2楼2011-10-23 09:28:49
lizhmath
金虫 (初入文坛)
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【答案】应助回帖
yasima2(金币+10): 将2个函数定义了加法减法，后又说可验证这2个运算满足环的公理体系，那环的公理体系是啥啊，你怎么验证的啊？还有，双射是什么，又比作2个宇宙，呃，那可不可以比作2个星球啊，怎么会有2个宇宙啊…… 2011-10-23 13:23:03
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代数结构就是一个集合有些运算，这些运算满足一些公理。 比如环这种代数结构有两个运算，一个称为加法，一个称为乘法， 她们满足一些公理。 比如，实数集上所有实值函数做成的集合，定义如下的加法合乘法： 任意的函数f和g，有函数f+g和fg定义为 (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x)。 可以印证这两个运算满足环的公理体系，于是上面的函数集合在这两个运算下成为环。 如果两个环之间有双射，而且这个映射还保加法和乘法，那么作为环，这两个环就是一样的了。这就称为环同构。代数结构的同构都是如此：保持代数结构(即运算)的双射。一个不是很准确的类比：两个同构的环，可以看成是两个平行的宇宙，他们有一样(同构映射就是一面镜子)的规则(一样的加法和乘法)。 |
3楼2011-10-23 10:04:45
lizhmath
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【答案】应助回帖
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soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-23 23:37:26
yasima2(金币+10): ok 2011-10-25 13:50:58
soliton923(金币+3): 谢谢参与讨论~~ 2011-10-23 23:37:26
yasima2(金币+10): ok 2011-10-25 13:50:58
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环的公理体系就是加法和乘法要满足的运算律啊，比如加法交换律等等。抽象代数的书上都有，可以查一下。 对于函数环，加法交换律就是：任意两个函数f和g，成立：f+g=g+f。 比如可以这样印证：任意的x（定义域中的点）有 (f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x) 于是作为函数有 f+g=g+f。 其实我想印证是平凡的，关键是可以用环轮中的结果和想法来处理函数环的问题。 双射指的是既单又满的映射，即存在双射的两个集合是集合同构的，它们的元素之间有一一对应。如果两个代数结构（比如环）它们之间有保持运算的双射，那么元素之间一一对应，对应的元素的运算结果也对应。所以从代数的观点看，它们就是一样的。 宇宙是一个比方啊，可以是其它你喜欢的东西。环的世界很“简单”，就是两个运算，满足公理体系，这个世界就按照这些规则运转。 |
4楼2011-10-23 21:01:17