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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » 【致H兄】数列题的万能多项式拟合求法
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wangww2011

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
xzhdty(金币+2): 中秋快乐，欢迎常来 2011-09-09 23:09:51
引用回帖:
6楼: Originally posted by sudo at 2011-09-09 19:42:55:
这个拟合出来的式子也可以无限长啊

哦，莫非你觉得不是整数不爽？简单改改就行：

把n从0开始计数，设给定的数列长度为N-1，同理使用上面的方法得到一个多项式F(n)之后，再令

f(n) = F(n mod N)

不就 ...

不是这个意思，举个例子(这台电脑上的MATLAB被卸载了,就用Mathematica来说明吧)，譬如数列：
CODE:
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,...

有 a(n)=(-1)^n
CODE:
FindSequenceFunction[{-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}, n]

结果为
CODE:
(-1)^n

有了这个通项公式后，可以轻易的知道a(50)=1,a(51)=-1,...
但是如果用多项式拟合，
CODE:
InterpolatingPolynomial[{-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}, x] // Expand

结果为
CODE:
-255 + (64864 x)/105 - (2856 x^2)/5 + (12056 x^3)/45 - 70 x^4 + (464 x^5)/45 - (4 x^6)/5 + (8 x^7)/315

如果另
CODE:
y(x)=-255 + (64864 x)/105 - (2856 x^2)/5 + (12056 x^3)/45 - 70 x^4 + (464 x^5)/45 - (4 x^6)/5 + (8 x^7)/315

可以知道y(1)到y(8)都是符合给定序列的，但是
y(50)=10158083585
y(51)=11832465919
就不符合了，所以多项式拟合不靠谱
希望我表达清楚了

[ Last edited by wangww2011 on 2011-9-9 at 20:15 ]
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11楼2011-09-09 20:14:46
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sudo

木虫 (正式写手)
★
余泽成(金币+1): 鼓励交流！ 2011-09-09 23:41:17
引用回帖:
11楼: Originally posted by wangww2011 at 2011-09-09 20:14:46:
不是这个意思，举个例子(这台电脑上的MATLAB被卸载了,就用Mathematica来说明吧)，譬如数列：
CODE:
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,...

有 a(n)=(-1)^n
[code]
FindSequenceFunction[{-1, 1, -1, 1, - ...

-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,...

何以见得是(-1)^n？

或者，你能定义“最符合人类直觉”这种事情么？
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12楼2011-09-09 20:33:32
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wangww2011

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+2): 鼓励讨论！ 2011-09-09 23:40:58
引用回帖:
12楼: Originally posted by sudo at 2011-09-09 20:33:32:
-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,...

何以见得是(-1)^n？

或者，你能定义“最符合人类直觉”这种事情么？

这是个很open的话题，瞎扯几句吧
呵呵，我开始觉得是思维定势，可是为什么会有如此的思维定势？受训练的结果吗？
我觉得这个源之于人类的本能之一----控制欲，人们希望它是可控的----需要有规律才能被控制----可预测性(具有周期性的最简单，好预测)。
其实无论是(-1)^n(这里可以用sin或者其他任意函数扩充,但要至少满足周期性)或者是多项式拟合都具有可预测性，只不过预测的结果不同罢了。对于-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,...这个数列，这里又多了一项本能的追求---对称性，如果画出图就会发现，多项式不满足周期性或者对称性。

而对于其他更普通的数列，不会严格满足周期性，但是人类还是会本能的希望其某些方面尽量满足，譬如震荡但振幅增加----我们会希望振幅增加着但是也要一直震荡着-----如果是多项式拟合的话，当x很大时，总是最高幂项起到关键作用，震荡会消失------这可能是人们本能上不想看到的吧。

[ Last edited by wangww2011 on 2011-9-9 at 22:07 ]
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13楼2011-09-09 20:38:11
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sudo

木虫 (正式写手)
★
余泽成(金币+1): 2011-09-10 20:26:39
引用回帖:
13楼: Originally posted by wangww2011 at 2011-09-09 20:38:11:
这是个很open的话题，瞎扯几句吧
呵呵，我开始觉得是思维定势，可是为什么会有如此的思维定势？受训练的结果吗？
我觉得这个源之于人类的本能之一----控制欲，人们希望它是可控的----需要有规律才能被控制- ...

=,=咳，取模的话，周期性完美出现...然后对称性也有了....

其实我才是那个刻板的教条主义者

[ Last edited by sudo on 2011-9-9 at 22:47 ]
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14楼2011-09-09 22:46:22
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wangww2011

木虫 (著名写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+1): 鼓励交流！ 2011-09-10 20:26:56
引用回帖:
14楼: Originally posted by sudo at 2011-09-09 22:46:22:
=,=咳，取模的话，周期性完美出现...然后对称性也有了....

其实我才是那个刻板的教条主义者
[ Last edited by sudo on 2011-9-9 at 22:47 ]

呵呵 你这个取模的话会出现不连续性，
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15楼2011-09-10 10:01:06
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sudo

木虫 (正式写手)
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余泽成(金币+1): 鼓励讨论！ 2011-09-10 20:28:35
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15楼: Originally posted by wangww2011 at 2011-09-10 10:01:06:
呵呵 你这个取模的话会出现不连续性，

确实，把定义域只能是整数域了

不过实话讲，对于数列题，定义域能在R内能连续的“通项公式”其实也不多吧

比如

(-1)^n = exp(iπ)^n = exp(inπ)

并不能在R上连续啊，只能在C上连续~

PS：我又想了下...莫非你所指的“连续性”不是实变函数论中的定义？

[ Last edited by sudo on 2011-9-10 at 10:11 ]
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16楼2011-09-10 10:10:03
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wangww2011

木虫 (著名写手)
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小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
余泽成(金币+1): 鼓励交流！ 2011-09-10 20:28:50
引用回帖:
16楼: Originally posted by sudo at 2011-09-10 10:10:03:
确实，把定义域只能是整数域了

不过实话讲，对于数列题，定义域能在R内能连续的“通项公式”其实也不多吧

比如

(-1)^n = exp(iπ)^n = exp(inπ)

并不能在R上连续啊，只能在C上连续~

...

我说的就是实数域，像你前面提到的，不需要用(-1)^n，可以用三角函数，其实也就是Re((-1)^n)

差点搞混了，譬如复函数f(x)=exp(I*pi*x)中定义域可以是实数域啊，这个复函数在R上是连续的啊
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17楼2011-09-10 10:50:08
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sudo

木虫 (正式写手)
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余泽成(金币+1): 鼓励交流！ 2011-09-10 20:29:01
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17楼: Originally posted by wangww2011 at 2011-09-10 10:50:08:
我说的就是实数域，像你前面提到的，不需要用(-1)^n，可以用三角函数，其实也就是Re((-1)^n)

差点搞混了，譬如复函数f(x)=exp(I*pi*x)中定义域可以是实数域啊，这个复函数在R上是连续的啊

啊说错了...确实exp(i*pi*x)是定义域R内连续的...

其实我当时想表达的是另一个意思，数列题好像没见过有出现值域在复数域的东西...

就是一般直接讨论

f(x)=(-1)^x

的定义域的话，都是建立在f(x)定义在R上的前提再讨论x的吧？

[ Last edited by sudo on 2011-9-10 at 10:58 ]
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18楼2011-09-10 10:56:27
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wangww2011

木虫 (著名写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
xzhdty(金币+2): 中秋快乐，欢迎常来 2011-09-10 19:45:09
引用回帖:
18楼: Originally posted by sudo at 2011-09-10 10:56:27:
啊说错了...确实exp(i*pi*x)是定义域R内连续的...

其实我当时想表达的是另一个意思，数列题好像没见过有出现值域在复数域的东西...

就是一般直接讨论

f(x)=(-1)^x

的定义域的话，都是建立在f ...

呵呵  好像也见过带虚数的题 两个一组的计算 那么多出题的人 什么怪题出不出来呀 哎
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19楼2011-09-10 11:02:39
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sudo

木虫 (正式写手)
引用回帖:
19楼: Originally posted by wangww2011 at 2011-09-10 11:02:39:
呵呵  好像也见过带虚数的题 两个一组的计算 那么多出题的人 什么怪题出不出来呀 哎

=,=居然连复数域的题都有...搞死人...

话说这种题意义几乎为零，不知道为什么考公务员要考
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20楼2011-09-10 11:08:15
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