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Atomic-Scale Modeling of Nanosystems and Nanostructured Materials
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Atomic-Scale Modeling of Nanosystems and Nanostructured Materials Atomistic and Continuum Modeling of Nanocrystalline Materials develops a complete and rigorous state-of-the-art analysis of the modeling of the mechanical behavior of nanocrystalline (NC) materials. Among other key topics, the material focuses on the novel techniques used to predict the behavior of nanocrystalline materials. Particular attention is given to recent theoretical and computational frameworks combining atomistic and continuum approaches. Also, the most relevant deformation mechanisms governing the response of nanocrystalline materials are addressed and discussed in correlation with available experimental data. Contents 1 Fabrication Processes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 One-Step Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Severe Plastic Deformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Electrodeposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.3 Crystallization from an Amorphous Glass . . . . . . . . . . 10 1.2 Two-Step Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Nanoparticle Synthesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Powder Consolidation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 Structure, Mechanical Properties, and Applications of Nanocrystalline Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Crystallites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Grain Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Triple Junctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Mechanical Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.1 Elastic Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.2 Inelastic Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Bridging the Scales from the Atomistic to the Continuum . . . . . . . . . 53 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Viscoplastic Behavior of NC Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Bridging the Scales from the Atomistic to the Continuum in NC: Challenging Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.1 Mesoscopic Studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3.2 Continuum Micromechanics Modeling. . . . . . . . . . . . . 65 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 4 Predictive Capabilities and Limitations of Molecular Simulations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Interatomic Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2.1 Lennard Jones Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 4.2.2 Embedded Atom Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.3 Finnis-Sinclair Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.3 Relation to Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3.1 Introduction to Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.2 The Microcanonical Ensemble (NVE) . . . . . . . . . . . . . 93 4.3.3 The Canonical Ensemble (NVT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.3.4 The Isobaric Isothermal Ensemble (NPT). . . . . . . . . . . 97 4.4 Molecular Dynamics Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.4.1 Nose´ Hoover Molecular Dynamics Method . . . . . . . . . 97 4.4.2 Melchionna Molecular Dynamics Method . . . . . . . . . . 100 4.5 Measurable Properties and Boundary Conditions . . . . . . . . . . 101 4.5.1 Pressure: Virial Stress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.5.2 Order: Centro-Symmetry. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.5.3 Boundaries Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 Numerical Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.6.1 Velocity Verlet and Leapfrog Algorithms . . . . . . . . . . . 105 4.6.2 Predictor-Corrector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7.1 Grain Boundary Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.7.2 Grain Growth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.7.3 Dislocation in NC Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5 Grain Boundary Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.1 Simple Grain Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.2 Energy Measures and Numerical Predictions . . . . . . . . . . . . . 119 5.3 Structure Energy Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.3.1 Low-Angle Grain Boundaries: Dislocation Model. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.3.2 Large-Angle Grain Boundaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4.1 Elastic Deformation: Molecular Simulations and the Structural Unit Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.4.2 Plastic Deformation: Disclination Model and Dislocation Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6 Deformation Mechanisms in Nanocrystalline Materials. . . . . . . . . . . 143 6.1 Experimental Insight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.2 Deformation Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.3 Dislocation Activity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.4 Grain Boundary Dislocation Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.4.1 Dislocation Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 6.4.2 Atomistic Considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.4.3 Activation Process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.4.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.5 Deformation Twinning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Diffusion Mechanisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.6.1 Nabarro-Herring Creep. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.2 Coble Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.6.3 Triple Junction Creep . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Grain Boundary Sliding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7.1 Steady State Sliding. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7.2 Grain Boundary Sliding in NC Materials . . . . . . . . . . . 165 6.8 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 7 Predictive Capabilities and Limitations of Continuum Micromechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.2 Continuum Micromechanics: Definitions and Hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 7.2.1 Definition of the RVE: Basic Principles . . . . . . . . . . . . 171 7.2.2 Field Equations and Averaging Procedures . . . . . . . . . 175 7.2.3 Concluding Remarks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3 Mean Field Theories and Eshelby’s Solution. . . . . . . . . . . . . . 183 7.3.1 Eshelby’s Inclusion Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 7.3.2 Inhomogeneous Eshelby’s Inclusion: ‘‘Constraint’’ Hill’s Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.3.3 Eshelby’s Problem with Uniform Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.3.4 Basic Equations Resulting from Averaging Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 7.4 Effective Elastic Moduli for Dilute Matrix-Inclusion Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.4.1 Method Using Equivalent Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . 193 7.4.2 Analytical Results for Spherical Inhomogeneities and Isotropic Materials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.4.3 Direct Method Using Green’s Functions . . . . . . . . . . . 199 7.5 Mean Field Theories for Nondilute Inclusion-Matrix Composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.5.1 The Self-Consistent Scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 7.5.2 Interpretation of the Self-Consistent. . . . . . . . . . . . . . . 206 7.5.3 Mori-Tanaka Mean Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.6 Multinclusion Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.6.1 The Composite Sphere Assemblage Model . . . . . . . . . . 215 7.6.2 The Generalized Self-Consistent Model of Christensen and Lo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.6.3 The n +1 Phases Model of Herve and Zaoui . . . . . . . . 219 7.7 Variational Principles in Linear Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 220 7.7.1 Variational Formulation: General Principals . . . . . . . . 221 7.7.2 Hashin-Shtrikman Variational Principles . . . . . . . . . . . 230 7.7.3 Application: Hashin-Shtrikman Bounds for Linear Elastic Effective Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 7.8 On Possible Extensions of Linear Micromechanics to Nonlinear Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.8.1 The Secant Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.8.2 The Tangent Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 7.9 Illustrations in the Case of Nanocrystalline Materials. . . . . . . 272 7.9.1 Volume Fractions of Grain and Grain-Boundary Phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.9.2 Linear Comparison Composite Material Model. . . . . . 273 7.9.3 Constitutive Equations of the Grains and Grain Boundary Phase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 7.9.4 Application to a Nanocystalline Copper. . . . . . . . . . . . 278 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 8 Innovative Combinations of Atomistic and Continuum: Mechanical Properties of Nanostructured Materials . . . . . . . . . . . . . 285 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.2 Surface/Interface Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.2.1 What Is a Surface? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.2.2 Dispersion, the Other A/V Relation . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.2.3 What Is an Interface?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8.2.4 Different Surface and Interface Scenarios. . . . . . . . . . . 290 8.3 Surface/Interface Physics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 8.3.1 Surface Energy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.3.2 Surface Tension and Liquids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.3.3 Surface Tension and Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.4 Elastic Description of Free Surfaces and Interfaces. . . . . . . . . 300 8.4.1 Definition of Interfacial Excess Energy. . . . . . . . . . . . . 301 8.4.2 Surface Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 8.4.3 Surface Stress and Surface Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 8.5 Surface/Interfacial Excess Quantities Computation . . . . . . . . 302 8.6 On Eshelby’s Nano-Inhomogeneities Problems. . . . . . . . . . . . 303 8.7 Background in Nano-Inclusion Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.7.1 The Work of Sharma et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.7.2 The Work by Lim et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 8.7.3 The Work by Yang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 8.7.4 The Work by Sharma and Ganti. . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.7.5 The Work of Sharma and Wheeler . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.7.6 The Work by Duan et al.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 8.7.7 The Work by Huang and Sun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.7.8 Other Works . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 8.8 General Solution of Eshelby’s Nano-Inhomogeneities Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.8.1 Atomistic and Continuum Description of the Interphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 8.8.2 Micromechanical Framework for Coating- Inhomogeneity Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 8.8.3 Numerical Simulations and Discussions . . . . . . . . . . . . 336 Appendix 1: ‘‘T’’ Stress Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 Appendix 2: Atomic Level Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Appendix 3: Strain Concentration Tensors: Spherical Isotropic Configuration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 9 Innovative Combinations of Atomistic and Continuum: Plastic Deformation of Nanocrystalline Materials. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 9.1 Quasi-continuum Methods. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 9.2 Thermal Activation–Based Modeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 9.3 Higher-Order Finite Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 9.3.1 Crystal Plasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 9.3.2 Application via the Finite Element Method . . . . . . . . . 366 9.4 Micromechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 9.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 Subject Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 |
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