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金虫 (正式写手)

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[交流] 【讨论学习】用微积分知识自己得到面积及体积公式

记得以前上学的时候,一次在高数的晚自习的时候,萌生了这个念头,能不能完全用自己的做法,不借助任何微积分公式来得到面积以及体积公式呢?

   首先,对于最简单的矩形发起进攻,很早之前,就注意到矩形可以看成是矩形的高"扫"过矩形的底那么长的距离后所围成的图形,那么面积可想而知,相当于就是有矩形的底那么多个单位的高.设底为a,高为b,很自然就得到公式S=a*b.用微积分转换一下就成了:
      a
S=∫ bdx=ab
      0

矩形很容易就得到了,那么其他的诸如梯形等的面积大同小异.现在开始针对稍微麻烦一点的圆形:

  在考虑圆形的时候,先提醒一下各位,不要指望微积分里面有关a^2+x^2之类的积分公式,因为这些公式都是直接或者间接通过S=πR^2 得来的.

   想这个想了很久,突然想到,圆的周长公式C=2πR是人为设定的,而不是求得的.那么就可以以这个为突破口来得到.

试想,一个圆,可以看成是由R个单位的圆周组成,而这个R个单位的圆周各不相同,不过可以肯定,这R个单位是连续的.是从0∽R的.所以,圆的面积公式也就出来了.
      R
S=∫ 2πrdr=2π(R^2/2-0)=πR^2
      0

嘿嘿,到这里,感觉如何,自己去试试圆的体积卖身制更加复杂的图形?结果帖出来哦