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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 计算模拟区 » 程序语言 » 其它 » Euler 工程 第廿九题：有多少不同的项?
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holmescn

金虫 (正式写手)

[交流] Euler 工程 第廿九题：有多少不同的项? 已有4人参与

第廿八题是个数学题, 除了生成矩阵的算法外, 好像没什么太多的思考.  所以再来个题吧.

取指数函数a^b, 其中a和b都取遍[2,5]间的所有整数, 所有可能的组合可以得到:

2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32
3^2=9, 3^3=27, 3^4=81, 3^5=243
4^2=16, 4^3=64, 4^4=256, 4^5=1024
5^2=25, 5^3=125, 5^4=625, 5^5=3125

把结果从小到大排列, 并去掉重复的数:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

一共15个数

如果a和b取遍[2,100]间所有的整数, 那可以得到多少个不同的数?

[ Last edited by holmescn on 2011-6-17 at 10:00 ]
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1楼 2011-06-17 09:58:49
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sudo

木虫 (正式写手)
★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
jjdg(金币+2): 辛苦了 2011-06-19 13:23:03
引用回帖:
Originally posted by huycwork at 2011-06-19 10:47:16:
昨晚想错了，哎~
2能够产生的重复数应该这么算：
2^2~4，产生49个重复的4^b
2^3~8，产生33个重复的8^b
2^4~16，产生25个重复的16^b，
同时4^2~16，产生49个重复，形如4^a=16^b
2^5~32，产生20个重复的32 ...

咳，关键还是在于：什么情况下可能会有重复？先给出结论：

对于a, b而言，指数在[m, n]区间里面取整数，那么可能与a求幂后存在重复的b为
b = a^2, a^3, ..., a^p

这个很好理解，想象一下a, b因数分解之后的样子，举个例子
CODE:
     2   3   5   7   11 ...
a |  1   0   1   0    0  ...
b |  2   0   2   0    0  ...

显然只有这个指数向量正好是整倍数时，a和b的分别若干次幂之后才会有相等的可能

那么算法就变成了简单的寻找[2, 100]内的a的所有幂的数量，而对于不同的a，造成重复的个数的计算方法却是一样的（从因数分解表的角度看很容易明白）

然后问题继续简化：

如果a在范围内所有次幂只有1个，那么无重复：
1 x {2, 3, 4, ..., 100}

如果a在范围内所有次幂有2个，那么重复数相当于找出下面两行数字的重复个数：
1 x {2, 3, 4, ..., 100}
2 x {2, 3, 4, ..., 100}

如果a在范围内的所有次幂有3个，那么重复数相当于找出下面3行数字的重复个数：
1 x {2, 3, 4, ..., 100}
2 x {2, 3, 4, ..., 100}
3 x {2, 3, 4, ..., 100}

......

在[2, 100]中，最多的就是2的所有次幂数了，一共有6个，重复数相当于下面6行数字的重复个数：
1 x {2, 3, 4, ..., 100}
2 x {2, 3, 4, ..., 100}
3 x {2, 3, 4, ..., 100}
4 x {2, 3, 4, ..., 100}
5 x {2, 3, 4, ..., 100}
6 x {2, 3, 4, ..., 100}

这些都是容易手算出来滴~~~

[ Last edited by sudo on 2011-6-19 at 11:06 ]
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25楼2011-06-19 11:05:03
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holmescn

金虫 (正式写手)
好像又是个关于质数的题, 难怪"1+2=3"这么重要呢.
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2楼2011-06-17 10:07:50
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huycwork

金虫 (著名写手)
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-17 18:21:22
引用回帖:
Originally posted by holmescn at 2011-06-17 10:07:50:
好像又是个关于质数的题, 难怪"1+2=3"这么重要呢.

没办法咯，所有的数都是质数生成的。
这题好像要筛数，前面的4*4个数中，只筛掉了1个数，原因是2^4和4^2=2^4
更大规模的时候，看起来需要把2~100内的所有素数和合数标记下都表示成指数的形式，筛掉那些指数落在2~100之间的合数。
赞一下(2人) 回复此楼
漩涡的中心有一块空地，空空的。
3楼2011-06-17 11:41:10
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libralibra

至尊木虫 (著名写手)

骠骑将军
★ ★
小木虫(金币+0.5):给个红包，谢谢回帖
dubo(金币+1): 欢迎常来程序语言版讨论 2011-06-17 18:21:33
python
CODE:
print len([_x for _x in [a**b for a in xrange(2,101) for b in xrange(2,101)] if not _x in locals()['_[1]']])

结果
CODE:
9183
Elapsed time: 1.91284227 seconds
赞一下(2人) 回复此楼
matlab/VB/python/c++/Java写程序请发QQ邮件:790404545@qq.com
4楼2011-06-17 15:16:03
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