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禁虫 (文学泰斗)

木虫博士

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专业: 粒子物理学和场论

[交流] 几何简史——从毕达哥拉斯到巴哈耳多夫

伟大的洞察，通常发生在一念之间。话说2500年前，古希腊一位先哲毕达哥拉斯，
无意间将一a×b方块推倒，忽然意识到方块之对角线同样转动了90度，大彻大悟，
于是高喊：“倒也，倒也！”
毕达哥拉斯不知道，自己这一“推”之间，不但推出了勾股定理，其实已经推出
宇宙中一切秘密。
时光如梭，转眼人世间来到了公元1854年，一德国人黎曼忽发奇想，声称在同一
流形之上可以存在多种度量，建立起大逆不道的黎曼几何。上帝大怒，于是收回
几何至宝勾股定理，以示惩罚。
黎曼不服，辩称在“无限小”意义之下，距离依然满足勾股定理，请求上帝原谅。
上帝眉头紧锁，沉思片刻后喃喃道：
“普朗克，普朗克！”
黎曼大喜，虽然此普朗克单位是一个极小、极小之实数，但总算有了一个明确的
边界，于是他宣称自己已获上帝恩准，向小于普朗克单位的距离上可做投影，
勾股定理仍近似成立。
黎曼不知，此小小普朗克单位害苦了后来的物理学家，迫使他们大玩积木游戏，
连续世界不复存在。此乃后话，暂且按下不表。
很快时间来到公元1926年，一奥地利人薛定鄂为满足微观物理实验结果，捣鼓出
一个波函数Ψ（r，t），用来表示所谓粒子的德布罗意波，其随时间t的演化满
足所谓薛定鄂方程。薛氏理论在应用上威力无穷战无不胜，其哲学解释却是光怪
陆离莫衷一是，没有一种解释不违反人类的正常逻辑，甚至在阿派斯特实验结果
彻底摧毁隐参量假设之后，物理学家面临放弃排中律的尴尬，为此他们只能向驼
鸟学习，只把屁股留在沙堆之外，以回避世人的嘲笑。
终于，时光来到了千年之交。一位勇敢的俄国神父巴哈耳多夫站了出来，有力地
回击世俗的浅薄——量子力学没有错，错误的其实是我们的物质观！
巴哈耳多夫仔细审视定态薛定鄂方程，此时波函数Ψ（r，t）被分解成空间函数
W（r）与时间函数f（t）之积。这一分解过程极其重要，因为在巴哈耳多夫看来，
闵可夫斯基将时间维与空间三维相提并论的做法非常、非常的“浅薄”，时间维
与空间维有着本质的区别，那就是：
时间维上坐标“必须”是实数，而空间维坐标可以是复数！
鉴于欧几里得先生的强烈抗议，巴哈耳多夫将复欧氏空间称为“酋空间”，并定义
此空间中两矢量u、v之内积（u，v）为u乘v的共扼，与实欧氏空间不同，（u，v）
是复数且不可交换，这种不可交换性其实就是著名的测不准关系的根本来源，此
乃闲话，按下不表。
巴哈耳多夫对空间函数W（r）甚感兴趣，因为它满足能量本征方程
H~W（r）=E*W（r），而就他的物质观而言，物质与能量完全等价。我们人类将
本属于宏观想象的“刚性粒子”或“振动面条”之类的所谓的“实物”概念
蛮不讲理地强加在物质身上，最后蒙受屈辱的只能是我们的逻辑。在巴氏看来，
空间函数W（r）就是“实在”，其本身已经具备物质的全部禀性：
1、所有“W实在”在H~作用下本征自守；
2、特定的“W实在”在H~作用下有特定的本征值E，E就是该“W实在”的能量。
巴氏又认为，所谓意识应该是一种“零能量”的特殊物质，它满足零本征方程：
H~Y（r）=0*Y（r），由于它的零本征性，巴氏推断意识Y（r）与复欧氏空间
三维正交，它是一个复矢量，而时间维其实就是此复矢量中的特例——因为
实数就是特殊的复数（虚部为0），实数没有方向，故时间维是标量维，它只与
实空间中的矢量（即光子矢r正交）。
根据巴氏的上述定义，一切物质W（r）都是复欧氏空间中的一个复矢量，它在
复欧氏空间中与r方向重合，而在实欧氏空间中却可以被“临摹”，过程如下：

首先，将W（r）在实空间中向“纯”实矢量----即光子矢r（最特殊的
复矢量）做投影，投影值为W（r）的实部；做与光子矢r正交的平面S，W（r）
在S上的投影为其虚部（方向不唯一）。

进一步，巴氏将投影得到的实部和虚部分别称为态矢和波矢，而将W（r）视为
两者之叠加，故态矢和波矢同样满足能量本征方程。

然后，由于f（t）=exp（-iEt/h），其模恒等于1，巴氏将波矢模平方视为
此时刻t意识在r处测量到W（r）的本征质量E/c2的几率，而态矢模平方代表
此时刻t意识在r处测量到W（r）的本征能量的E几率。

现在，勾股定理开始显示她的威力了！根据质能等效原则，完成全部统计之
后宏观物质被测出的几率为100%，或是质量或是能量。按照勾股定理，波
矢模平方与态矢模平方之和必须归一！

于是，严重的问题出现了：两参照系之间存在加速度时，实欧氏空间必须向
实黎曼空间过渡，勾股定理并不绝对成立——于是在全部测量统计完毕，
我们可能得到130%的能量，或者是83%的质量！

幸好，我们还有普朗克单位救驾------以一个光子为最基本之能量单位，物质
一个一个地向光子矢上投影，上述分析依然成立------因为此时勾股定理近似
成立。而最特殊之物质，非电子莫属，分别过光子矢起点与终点的两条“经线”
互相平行却相交于南、北极，造就了电子这个波矢模归一且与光子矢正交的
“幺正”物质，它与光子这个幺正物质的相互转化构成了电磁场的起源。

电磁场方程给人最深刻的印象莫过于它的线性，显然，此线性的根源来自于
光子与电子的“幺正性”-------1的平方还是1，0的平方还是0。

而引力就不幸的多，除了电子与光子，其他物质质量密度与波矢模的“平方”
成线性------0.9的平方变为0.81,0.1的平方变为0.01........此非线性就是
物理学家头疼的原因。
　　现在我们来对测量行为进行审视，不难明白为什么意识对物质的观测最终必须
　　借助光子（即脑电波）来完成-------“单次”测量到的物质物理量必须是指某“时刻”的
　　物理量而非某个“时间间隔”的物理量，因为物质在时间维上的投影不为0（光子除外），
　　故物质必须向光矢量投影，然后借助光子将投影结果进一步投影在时间维上的某时刻t
　　（而不是“时间间隔”），才能完成此“单次”测量。
　　而微观实验违反贝尔不等式的原因很简单：在黎曼空间中勾股定理并不绝对成立，结果必然导致测量结果微小的“统计溢出”，即便是小如光子也逃脱不这样的命运！
　　

现在来听听巴哈耳多夫的论断：
万物皆由几何表出，而几何，显然是神授的。

　　
　　（后记）
　　
　　
　　
　　
　　1998年3月，当巴哈耳多夫在《喀山神学通讯》上发表他那篇著名的
《构造实在哲学引论》之后，立即遭到了神学界的一片责难之声-----
一个实数维的时间加三个复数维的空间是个什么怪东西？上帝怎么
会创造出如此不和谐的宇宙？
这些批评令巴哈耳多夫多夫颇为尴尬，他甚至发誓今生再也不会与哲
学结缘，哪怕是“多看它一眼”。

其实，巴哈耳多夫完全没有必要如此灰心，事实上，有一位伟大的
思想家一直站在他的背后，他却一直没有察觉！

这位伟大的思想家叫哈密顿.W.R，出生于1805年8月3日，在1837年当
选为爱尔兰皇家科学院院长。
哈密顿的最大贡献是发现了四元数（1843年），表示为t+xi+yj+zk，
其中t为数量部分，三个虚部为矢量部分，t、x、y、z均为实数。
特别令人惊奇的是，四元数是唯一的超复数系-----其它任何一类超
复数都不是“可除代数”！

后世的数学家为了矢量分析的需要，轻率地抛弃了四元数的数量部分t，
他们并不知道自己这样做是多么的愚蠢------实际上，t包含了宇宙的
最大秘密：
t+xi+yj+zk表示四维时空中的一个点元，而实数t、x、y、z就是它在四
个维度上的坐标！
四元数的乘法不满足交换性（此即测不准关系的根源），但是没有关系，
我们仍然可以将波函数Ψ（r，t）写成一元函数Ψ（p），
这里p=t+xi+yj+zk，
而Ψ无非就是一个映射，作用是将p映射成另一个四元数p+Δp.
现在考虑薛定鄂方程

H~Ψ(p)=hI*o/ot(Ψ(p))
注意对四元数而言,虚数I与其相乘的作用定义为：
　　实部与虚部互相转化（注意时间维与空间3维正交）
先讨论方程右边,偏微分o/ot无非是在Δt趋0时对Δp/Δt求极限,
结果必然是数量部分约化为1,矢量部分记为V,于是方程右边为（1+V）hI,
V=(Δx/Δt)i+(Δy/Δt)j+(Δz/Δt)k,
对欧氏空间显然有V=0(伽利略)
而对黎曼空间则有V≠0(洛伦兹)
故将V*hI称为波函数Ψ在t+xi+yj+zk处的时空曲率。

然后我来看方程左边，令A=（o/ox）i+（o/oy）j+（o/oz）k

则方程左边即A*Ψ(p)，运算得

A*Ψ(p)=散度+旋度行列式

其中的散度=（oΨx/ox）+（oΨy/oy）+（oΨz/oz）

（ i j k ）
其中的旋度行列式= （ o/ox o/oy o/oz ）
（ Ψx Ψy Ψz ）

现在，我们将散度定义为Ψ的“波矢”，旋度定义为Ψ的“态矢”
将方程左右边进行对比，并注意根据虚数I的定义，(1+V)*hI等于一个与时间正交的光子态矢量(hI)和一个与时间维平行的时空曲率(hV*I)之和

　　
则我们可以得到如下结论：
1、波矢与时间维平行，在空间维中投影为0（只含实部）；
2、态矢与光矢平行，在时间维中投影为0（只含三个虚部）；
3、在1个普朗克单位h局限下，令波矢模平方与态矢模平方分别为在p处测量到
“物质”Ψ的质量与能量的几率，在归一化约定下，
如果时空曲率V=0，则两几率之和等于100%（勾股定理）

结束语
用四元数对巴哈耳多夫几何进行表述，不仅在形式上更加简洁、更加优美，
而且令时空表现的更加的自然和谐。

为了表彰哈密顿与巴哈耳多夫揭开宇宙秘密的伟大贡献，
笔者建议：
将上述理论命名为“巴-哈时空理论”。

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