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userhung禁虫 (文学泰斗)
木虫博士
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我只能列出我稍微熟悉一点的方向，还有一些个人的解释 (1)Gromov-Witten 不变量 来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashberg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual fundamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计算成为可能。 (2)Selberg-Witten 不变量 (3)Donaldson polynomial 70年代末，ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2(n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分，得到了多项式不变量。具体的很长，可以看他的那本4流形的几何学。 (4)Mirror Symmetry 其中有A_{infinity} algebra, Fukaya Category, Floer Homology（用来解决了Arnold Conjecture,有很多推广形式), Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵), Special Lagrangian submanifold, Deformation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出来的人的名字了，不过他曾经用这个做过Index定理的推广) 有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。 (5)Hodge Conjecture 这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations. (6)Motive 大概是Grothendieck最先提出来，当时为了解决Weil Conjecture,但一个成熟的数学家知道，为了解决问题而解决问题是没有前途的，很多问题背后是有理论依据的，用一套孤立的方法来解决一个问题是迟早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背后的整套理论体系，使得这个猜想只是他的一个小推论。这个目标至今没有实现，Deligne的证明在G兄看来可能不过是权宜之计，并没有真正解决问题，所以他在1968年说代数几何的当务之急是证明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(关于Algebraic Cycle的）。 (7)Resolution of singularities 这是一项宏伟的工作，特征0的情形被日本数学家Hironaka在60年代初证明，就是那个号称逻辑结构最复杂的证明，一个证明就拿了Fields Medal。特征p的情形大概只证到3-fold。现在还是很多人在想办法简化Hironaka的证明，但一直办不到。 (8)Standard Conjecture 现在风风火火的，就是所谓的Motive理论，G兄说它是代数族算术性质的基本理论。 ---------------------------------------------------------- 我有几点注记 Gromov-Witten不变量是Ruan最早在辛几何情形定义的，后来Kontevich&Manin给出了更为有用的代数几何的定义。Kontsevich在MPI访问的时候，受Ellingsrud&Stromme将Bott residue formula用于曲线计数的工作的启发，发展了稳定映射模空间上的局部化方法，并利用模空间的组合结构，将曲线计数（或Gromov-Witten不变量计算）问题简化为曲线模空间上的Hodge积分，并进一步简化为图上的Feyman rule。 高亏格曲线模空间的相交理论（或Gromov-Witten不变量的计算），需要引入virtual基本类的概念以及virtual局部化的技巧。这是李骏，Pandeharipande等人的重要工作。 近年来，刘克峰及其合作者极大发展了局部化的技巧，并解决了镜像猜想，Marino-Vafa猜想，Hori-Vafa猜想，给出著名的ELSV公式与Witten猜想的局部化证明等（证明Witten猜想是当初Kontsevich得菲尔兹奖的最重要的工作，最近Mirzakhani因为用Weil-Petersson几何给出Witten猜想的新证明而得到哈佛的tenure职位）。严格建立拓扑顶点的数学理论，导致他的学生彭攀解决了著名的Kopakumar-Vafa猜想。 关于Calabi-Yau模空间，具有给定Hilbert多项式的极化Calabi-Yau全体构成一 个Coarse模空间（是一个拟投影簇），由Bogomolov-Todorov定理，这个模空间是光滑的。这些应该是代数几何学家熟知的事实，当然很多物理学家对CY模空间作出了重要贡献。CY模空间的存在性虽然是代数几何中的标准定理，但是对于其结构的研究还有许多问题有待解决，比如著名的Reid猜想：三维CY模空间是否连通的？ |
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