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学计算数学的必读
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谈谈计算数学- 从计算数学的字面来看，应该与计算机有密切的联系，也强调了实践对于计算数学的重要性。也许Parlett教授的一段话能最好地说明这个问题：How could someone as brilliant as von Neumann think hard about a subject as mundane as triangular factoriz-ation of an invertible matrix and not perceive that, with suitable pivoting, the results are impressively good? Partial answers can be suggested-lack of hands-on experience, concentration on the inverse rather than on the solution of Ax = b -but I do not find them adequate. Why did Wilkinson keep the QR algorithm as a backup to a Laguerre-based method for the unsymmetric eigenproblem for at least two years after the appearance of QR? Why did more than 20 years pass before the properties of the Lanczos algorithm were understood? I believe that the explanation must involve the impediments to comprehension of the effects of finite-precision arithmetic.(引自www.siam.org/siamnews/11-03/matrix.pdf) 既然是计算数学专业的学生，就不能对自己领域内的专家不有所了解。早些年华人在计算数学领域里面占有一席之地是因为冯康院士独立于西方，创立了有限元方法，而后又提出辛算法。这里只是列出几位比较年轻的华人计算数学专家，因为他们代表了当前计算数学的研究热点，也反映华人对计算数学的发展的贡献。 侯一钊（加州理工） 研究方向：计算流体力学、多尺度计算与模拟、多相流 http://www.acm.caltech.edu/~hou/ 鄂维南（Princeton大学） 北京大学长江学者，研究方向：多尺度计算与模拟 http://ccse.pku.edu.cn/staff/weinane.htm 包刚（Michigan州立大学） 吉林大学长江学者，研究方向：光学与电磁场中的计算等 http://www.mth.msu.edu/~bao/ 金石(Wisconsin大学) 清华大学长江学者，研究方向：双曲守恒律、计算流体力学、 动力学理论等 http://www.math.wisc.edu/~jin/ 汤涛（香港浸会大学） 中科院，研究方向：移动网格法等 http://www.math.hkbu.edu.hk/~ttang/ 舒其望（Brown大学） 中科大长江学者，研究方向：计算流体力学、谱方法 http://www.dam.brown.edu/people/shu/home.html 陈汉夫（香港中文大学） 研究方向：数值线性代数 http://www.math.cuhk.edu.hk/~rchan/ 许进超（Pennsylvania州立大学） 北京大学长江学者，研究方向：有限元、多重网格法 http://www.math.psu.edu/xu/ 袁亚湘 中科院，研究方向为非线性最优化 http://lsec.cc.ac.cn/~yyx/ 张平文（北京大学） 北京大学长江学者，研究方向为复杂流体的模拟、多尺度计算与 模拟、移动网格法等 http://www.math.pku.edu.cn/pzhang/index.html 陈志明（中科院） 研究方向：科学计算与数值分析，主要为有限元法 http://lsec.cc.ac.cn/~zmchen/index-c.html 其他还有黄维章、吴宗敏、Xu Kun、程今等人也非常突出 作为计算数学专业的学生，经常阅读本专业中的主要杂志也许 是颇有裨益的。 理论： 最好的基本是 Mathematics of Computation Numerische Mathematik SIAM Journal on Numerical Analysis SIAM Journal on Matrix Analysis & Applications SIAM Journal on Scientific Computing 较好的有： BIT IMA Journal of Numerical Analysis Advances in Computational Mathematics Inverse Problems 还有应用性质的杂志： Journal of Computational Physics International Journal for Numerical Methods in Engineering Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering International Journal for Numerical Methods in Fluids Computers and Fluids Computational Mechanics 还有很多带有Computational字眼的其他学科的期刊：Journal of Computational Chemistry，Computational Material Sciences 也可以浏览。 但是作为入门来说，大家的综述特别能帮助我们这些新人迅速把握了解、把握一个领域，因而值得特别重视。这方面最好的是剑桥大学出版社出版的Acta Numerica连续出版物。Acta Numerica每年出版一本，作者均是该领域的顶尖人物。比如说最近几年水平集方法非常热门，05年就有一篇水平集方法创始人之一的Stanley Osher写的Level Set Method in Image Science。其他论题有：entropy stability (Tadmor E)，radial basis function (Buhmann MD)等 等。该出版物我们学校没有订，不过可以从网上可以找到不少。我 这里大概也有二三十篇，可以提供上载。 另外一本就是SIAM Review。SIAM Review的每一期里面都有几篇文 章关于计算数学的内容的，经常从实际问题引伸出计算的问题，或 者是介绍每一个领域的最新进展等。 SIAM News的每一期也有关于 计算的有意思的短文，不妨浏览浏览。 作为数学系的学生，无疑是需要读很多数学书。计算数学的书可以 称得上是汗牛充栋。以前在系版上提到过几本。现在再补充一些。 微分方程数值解是计算数学中的核心论题。传统的方法有有限差分 法、有限元法、边界元法和谱方法。 有限差分法想法最为简单，比较容易理解。李荣华的那本《微分方程 数值解》就介绍了最基本的东西：收敛性、相容性和稳定性。 Richtmeyer & Morton的《Difference Methods for Initial-Value Problems》则是差分法方面的经典著作。R. LeVeque最近也有一本 《Finite Difference Method for Differential Equations》也很有意思，介绍了差分方法的新的现代概念。LeVeque的书可以在他的主页（http://www.amath.washington.edu/~rjl/）上下载，他的另外一本书《Numerical Methods for Conservation Laws》是守恒律数值方法方面非常出色的著作。 有限元法方面自然是推荐使用Ciarlet的《The Finite Element Method for Elliptic Problems》。这也是系里专业科的教材，另外Brenner & Scott的《Mathematical Theory of the Finite Element Method》据说也是不错的。 谱方法对于规则区域上的问题往往是最为有效的方法。华东师大的 郭本瑜教授在这方面做过很好的工作，他的《Spectral Methods and Their Applications》广受好评。Purdue大学的沈捷教授也有 很出色的工作，他的一个讲义可从他的主页（http://www.math.purdue.edu/~shen/） 上下载，同时还有相关的Matlab和Fortran程序。谱方法方面最好的 入门书为Trefethen的《Spectral Methods in Matlab》，其他的还 有Canuto等人的《Spectral Methods in Fluid Dynamics》，不过 不知道能不能再学校里找到。除了上面这些方法之外，还有近年来比较热门的无网格方法，这些可以参考张雄和刘岩的《无网格方法》（清华大学出版社，2003，50￥）。计算数学的主要工具是泛函分析。一般推荐的Yoshida的《Functional Analysis》（有中译本：吉田耕作，《泛函分析》）或者Rudin的 《Functional Analysis》。这两本书都是非常难的，但是也是非常经典的书，可能当字典比较合适。但是，泛函分析里面重要的定理在计算里面并不见得特别有用，所以我们要甄别那些可能有用的东西，Sawyer的《数值泛函分析引论》也许是比较合适的入门读物。这本书里面介绍了一些泛函分析概念的来由，如 Holder不等式的导出，也有泛函分析在计算数学中的应用，比如Kantorovich迭代收敛性准则的解释。张恭庆的《泛函分析》强调泛函分析的应用，里面 也有一些应用于数值计算的例子，比如Lax等价定理，值得读一下。 计算数学还有其他许多重要的分枝，如矩阵计算、反问题、计算流体力学、最优化、逼近论等。由于这方面本人涉略甚少，这里也没有什么好说的了。希望计算数学这些方向的其他同许能补充上去。最后补充一句，订阅mailing list也是不错的，可以迅速获得关于计算数学会议、新出版文章等的信息。中文的推荐使用CAM，可在下面的网址注册 http://www.math.hkbu.edu.hk/cam-net/indexcn.html 英文的推荐订阅Clever Moler的NA Digest，可在下面的网址注册 http://www.netlib.org/na-net 先订正一个错误：Sawyer的那本书的题目我 记错了，应该叫《数值泛函分析初览》，系资料室和图书馆 都有中译本的。接下来介绍几本矩阵计算方面的书的。浙大的张振跃老师在这方面有很出色的工作，中科院的白中治，北京大学的徐树方，复旦的魏益民和曹志浩，澳门大学的金小庆都是这方向的，还有复旦出去的柏兆俊。肯定还有许多学者在这方面有很突出的工作，可惜我基本上没什么涉略，这里也不能列出来。 国外的大牛有Golub，很多这个方向的大家都是他的学生。 Kahan, James Demmel, Peter Stewart, L N Trefethen, Higham,这个名单可以列的很长，这些人是矩阵计算方面 的大家。 矩阵计算方面最经典的书应该是J H Wilkinson的《The Algebraic Eigenvalue Problem》（有中译本，石钟慈等 人译，《代数特征值问题》，科学出版社，学校图书馆有， 系里有英文版的）。这本书虽然老，但是据说读一下还是 很有启发的。现在的经典是Golub和van Loan的《Matrix Computation》（有中译本，袁亚湘译，《矩阵计算》，科学出版社），英文版的电子版可以在网上找到的。其他的书有Demmel的《Applied Numerical Linear Algebra》，Trefethen & Bau 的《Numerical Linear Algebra》据说也是很好的。Yousef Saad有两本书《Iterative methods for sparse systems》和 《Numerical methods for large eigenvalue problems》，写的挺有意思的，在他的主页 （http://www-users.cs.umn.edu/~saad/）上可以down。说到矩阵计算，还得提到Householder的一本老书，《The theory of matrices in numerical analysis》(有中译本，系里中英文版的都有)。 LN Trefethen现在是剑桥大学的教授，他写的每一本书都很经典，前面已经到过他的几本书了，《Spectral Method in Matlab》，《Numerical Linear Algebra》，还有《Finite Difference and Spectral methods》（在他的主页上可以down，http://web.comlab.ox.ac.uk/oucl/work/nick.trefethen/）。读他的书和文章感觉也是人生的一大享受。他在Cornell大学任教时，曾上过一门课，就是阅读数值计算的经典文献。为此他写过一个短文，列举了数值计算中的十三篇经典文献，也许对大家有点启发。 1. Cooley & Tukey (1965) the Fast Fourier Transform 2. Courant, Friedrichs & Lewy (1928) finite difference methods for PDE 3. Householder (1958) QR factorization of matrices 4. Curtiss & Hirschfelder (1952) stiffness of ODEs; BD formulas 5. de Boor (1972) calculations with B-splines 6. Courant (1943) finite element methods for PDE 7. Golub & Kahan (1965) the singular value decomposition 8. Brandt (1977) multigrid algorithms 9. Hestenes & Stiefel (1952) the conjugate gradient iteration 10. Fletcher & Powell (1963)optimization via quasi-Newton updates 11. Wanner, Hairer & Norsett (1978) order stars and applications to ODE 12. Karmarkar (1984)interior pt. methods for linear prog. 13. Greengard & Rokhlin (1987) multipole methods for particles 他的remark也很有意思，We were struck by how young many of the authors were when they wrote these papers (averageage: 34), and by how short an influential paper can be (Householder: 3.3 pages, Cooley & Tukey: 4.4).这说明大家 都还是很有希望的，呵呵。 反问题无疑是计算数学中最热门的方向之一。该方向现在有如下 几本杂志：Inverse Problems，Journal of Inverse and Ill-posed 买Problems, Inverse Problems in Sciences and Engineering(以前叫Inverse Problems in Engineering).第一本杂志最好，第二本杂志上面有很多苏联人的工作，第三本偏向于应用。在很多高档次的杂志中都有反问题方面的文章，比如SIAM Journal on Numerical Analysis，SIAM Journal on Mathematical Analysis, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，SIAM Journal on Scientific Computing上也有不少反问题方面的文章。在国内做反问题做的最好的应该是复旦大学的程晋老师，他在反问题的理论估计方面有不少工作，南京大学的金其年老师也有不少好的结果（很年轻！），哈工大有几个人是做应用方面的工作的（他们的前校长就是做地球物理中的反问题的）。国际上知名的有HW Engl（澳大利亚），Yamamoto（日本）， Kress（德国）， Martin Hanke（德国）， Isakov（美国）等。反问题的一个重要特点就是与实际问题联系特别紧密，往往需要根据问题的特点设计专门的算法，这也是反问题的难点所在。很多应用领域与反问题结合之后成为一个单独的研究领域,如EIT。 水平集方法应用于反问题似乎是当前反问题算法研究中的一个热点。明尼苏达大学 的Fadil Santosa最早将水平集方法应用于求解反问题，但是没有很大的反响。Engl的学生Martin Burger在2000年将水平集方法应用于反问题（发表在Inverse Problems上），在国际上 有很大的反响。Martin Burger在博士毕业后就被邀请到UCLA的Osher的小组作研究，并和Osher一起就水平集方法在反问题的应用作了一个综述和展望，值得参考。反问题反面最为经典的当属Tikhonov和Arsenin的《Solutions of Ill-posed Problems》（有中译本，《不适定问题的解法》，学校里有，英文版的系里有）。现在反问题反面每篇重要的文章基本上都要引用这本书。这本书比较抽象，算法方面有所涉及，但是不多。后来Tikhonov和Yogola等人一起写过非线性反问题反问题理论方面的书，还写过一本算法方面的书，可惜书名我已经忘记的。个人感觉Groetsch的《The theory of Tikhonov regularization for Fredholm equation of the first kind》是比较好的入门书，这本书比较薄，也比较容易读懂。读了这本 书之后，阅读反问题理论方面应该不会有很大问题。Kress的《Linear Integral Equations》和Kirsch的《An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems》也是不错 的入门书。这些书在系资料室里都能找到。Engl等人的《Regularization of Inverse Problems》广受好评，应该可以作为进一步阅读的材料。专门的著作有很多，如Isakov的《Inverse problems for partial differential equations》，Martin Hanke的《Conjugate Gradient Type Methods for Ill-posed Problems》应该也是不错的。在反问题的数值算法方面的书籍不多，只有Hansen的《Rank-deficient and discrete ill-posed problems》和 Vogel的《Computational Methods for Inverse Problems》。两本书都是非常棒的，要求的基础基本上类似，对矩阵计算的基本概念非常熟悉。但是侧重点有所不同，Hansen的书容易阅读，所以在工程师里面也是很 popular。Vogel的书稍微数学化，涉及的范围也稍微广一点，比如说很重要的Total Variation regularization在Hansen的书里就不讨论，但是Vogel的书里做了非常详细的讨论。Tikhonov的算法书应该也有很大的参考价值，可惜我没办法搞到，所以也没法评论了。 反问题的reading list 可以在下面的链接中找到： http://infohost.nmt.edu/~borchers/geop529/readings/readings.html 计算的热点似乎有两个特点：一个是与具体的应用结合形成新的学科，比如说计算流体力学、计算空气动力学、计算力学、计算物理。这里强调的是为新的学科的发展做出贡献，也就是所谓的作为除实验和理论之外的第三种研究手段。材料和生物中的计算问题似乎将是以后的计算数学中的一个热点，可以参考鄂维南老师的评论文章。一个是应用新的数学工具。比如说应用Lie群理论构造保格式的微分方程数值解法，拓扑引出的continuation method。其缘由可能是基于某种物理上的考虑，但是可以通过引入新的数学工具来解决。这也应该是一个值得注意的地方。 |
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