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【原创】空间划分 已有1人参与
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这实际就是n个平面最多能把空间分成多少块。 为了简单，我们先从低维开始讨论：（虽然我思考的时候是从3维开始的。） 一、 k个点能将直线分成几个区域，很简单，q=k+1个,但这不是我重点要说明的。 重点是： 定理1。一个点能将其所经过的直线区域一分为二。 定理2。一条直线能将其所经过的平面区域一分为二。 定理3。一个平面能将其所经过的空间区域一分为二。 推论：一个n维线性空间能将其经过的（n+1）维空间区域一分为二。（区域是开区域，不包含边界。） 这些空间区域都是凸区域，不然不止一分为二。在此特指线性凸区域。 二、 1：论0维分割1纬 假设：k个点将直线分成了q（k）个区域，每个点只能经过一个区域，第k+1个点只能将其中一个区域一分为二，根据定理1知： q（k+1）=q(k)+1 （1）。 已知：q（0）=1所以 q（n）=n+1 （2）。 2:论1维分割2维 设：k条直线将平面分成p（k）个区域，下面讨论：第k+1条直线最多可经过个平面区域数（问题一）假设为a个，那么根据定理2有： p（k+1）=p（k）+a （3） 。 问题一 等价于 第k+1条直线所经过的区域的边界将其截成的段数 = k条直线最多可将第k+1条直线截成的段数（因为前面的 k条直线构成了前面的所有区域的边界） = k个点直线最多可将第k+1条直线截成的段数。所以，根据（2）式：a=q（k）=k+1，又p（0）=1 结合（3）式有 P（n）=n（n+1）/2 + 1 （4） 3：论2维分割3维 设：k个平面将空间分成 f（k）个区域。 下面讨论：第k+1个平面最多可经过个空间区域数（问题二）假设为c个，那么根据定理3有： f（k+1）=f（k）+ c （5） 问题二 等价于 第k+1个平面所经过的空间区域的边界最多可将其截成的平面区域数 = k个平面最多可将第k+1个平面截成的平面区域数（因为前面的 k个平面构成了前面的所有空间区域的边界） = k条直线最多可将第k+1条直线截成的平面区域数。 所以又： c=p（k）=k（k+1）/2 + 1 ， 又f（0）=1，结合（5）式： f（n）=（n+1）（n^2-n+6）/6 (6) 完毕。 无须作图，都能推导出来，读者也不须作图也能看懂 |
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