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zhangguangping

木虫 (著名写手)

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[交流] 【求助】关于周期性结构矩阵元构建细节【完结】已有2人参与

请教的问题是Quantum Transport Atom To Transistor（Datta S.）（全书下载地址：http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2084009&fpage=1）书中的一个细节，在第五章关于能带的介绍中，从一维均匀情况，到二聚化情况，举阵元的构建还都能看懂，但是推广到三维的时候，对矩阵元的构造就不是很清楚了。
我抽取了第五章的相关部分：http://d.namipan.com/d/%e9%a1%b5 ... 3cae51b50e757e00200。

书中说Hnm是联系N原胞和周围的M原胞（这个地方是指的一个还是所有的周围原胞啊？）的矩阵元，并且说这个矩阵元是b*b维的，b是一个原胞中的基矢的数量。问题是，每一个矩阵元的表示形式是什么啊？如果还是和一维的情况一样，用任意的两个基函数去对H做内积，那么这个矩阵的维度应该和周围的原胞的数量有关系吧？如果是Hnm表示的是只与周围的最近邻的一个原胞的相互作用，这个是b*b维的，并且认为次近邻的两个原胞之间矩阵元为0（紧束缚近似）。那么为甚文中Consider any particular unit cell n (Fig. 5.2.1) connected to its neighboring unit cells m by a matrix [Hnm] of size (b×b), b being the number of basis functions per unit cell.
我对这个短话的理解是：原胞n与周围相邻的（所有的）M原胞之间的相互作用可以用一个b*b维的矩阵表示。
>>这样理解是正确的。

如果理解成Hnm是N与周围的一个紧邻原胞之间的相互作用,正好是b*b的，
剩下的就是要想解决这个固体的能带，需要写出这个周期体系的矩阵，那么整个矩阵是个什么形式？
是把包围N原胞的周围的所有最近邻的M都要写在这个矩阵中吗？
假如就像5.1.2图中所示，N周围就4个M，是不是H可以写成H11 H12 H13 H14 H15
                                                                                       H21 H22 H23 H24 H25
                                                                                       H31 H32 H33 H34 H35
                                                                                       H41 H42 H43 H44 H45
                                                                                       H51 H52 H53 H54 H55
每一个Hnm都是一个b*b的矩阵，对角的位置是每一个原胞（现在总共有5个原胞，4个M（其实M和N也是等价的，周期性的结果），一个N）内部的相互作用，次对角位置是这5个原胞中每两个之间的相互作用矩阵，如果是最近邻的，那么就会有不为零的矩阵元，如果不是，那么那个矩阵块的矩阵元全部为零。
如果是这样的话，这个矩阵的本征值就是b*5个，而不是b个了。
>>这个矩阵形式是错误的。
难道H=ΣHnm,这个就是一个b*b的矩阵了。
>>这个是正确的。

关于5.2.1式，把求和号写开，（假如N在上面的编号是1的话）H11{Φ1}+H12{Φ2}+H13{Φ3}+H14{Φ4}+H15{Φ5}=E{Φ1}，其中{Φi}表示第几个原胞中的全部基函数，是一个b*1的列阵。
这个就有点象格点表象里面的薛定谔方程：
(Un + 2t0)ψn - t0ψn-1 - t0ψn+1 = Eψn

注：关于能带的理论在固体物理上有比较详细的讲解，但是大多都是从解析的办法做的。这本书中是从矩阵的角度讲解的。虽然两者是等价的，但是还是有点不习惯，并且矩阵的讲解，更接近实际计算的形式。对理解程序中具体的计算流程比较有用。
推荐大家看一下这本教材。非常不错，尤其是对以前的量子力学也是一个很好的回顾，并且datta能给你一个对以前量子力学中很多概念的全新观点，当然有可能这些观点以前自己已经建立了。
整本书的讲述采用矩阵力学的办法，与编程运算比较接近。

[ Last edited by zhangguangping on 2010-10-5 at 01:50 ]

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弘德明志博学笃行

1楼2010-10-04 10:32:18

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夕阳西下

★
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引用回帖:

Originally posted by zhangguangping at 2010-10-05 08:21:40:
通过继续向后面看，列举的几个例子，可以解决这个问题。
谢谢大家的关注。
是不是你自己上面理解的那样呢？
本文来自: 小木虫论坛 http://muchong.com/bbs/viewthread.php?tid=2455862&fpage=2
[ Last edited by zhangguangping on 2010-10-5 at 01:34 ]