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nickler

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[交流] 泛涵微分简介(转载）

考查下列泛函:

S(q)=Integrate[L(q(t),q'(t),t), (t,t1,t2)]

S就是关于函数q(t)的泛函,因为积分的结果完全依赖于函数q(t)的形式. L是一个任意
的三元函数.估计你的情行比这应简单.

所谓泛函微分是指当q(t)的型式有小变化时S取值的改变. 假设h(t)是一个小函数,即
在定义域内值接近零.另外假设导数h'(t)也是小函数. 考查:

S(q+h)=Integrate[L(q(t)+h(t),q'(t)+h'(t),t), {t,t1,t2}]

由于h(t)(h(t)称为一个变分)和h'(t)很小,可对L作Talor展开:

L(q(t)+h(t),q'(t)+h'(t),t)=L(q(t),q'(t),t)+D[L,q]*h(t)+D[L,q']*h'(t)

所以:

\Delta S=S(q+h)-S(q)=Integrate[L(q(t)+h(t),q'(t)+h'(t),t)
-L(q(t),q'(t),t), {t,t1,t2}]
=Integrate[D[L,q]*h(t)+D[L,q'(t)]*h'(t), {t,t1,t2}]

估计你们是要求极值问题,这就要求\Delta S=0. =>

Integrate[D[L,q]*h(t)+D[L,q'(t)]*h'(t), {t,t1,t2}]=0

考虑到:
Integrate[D[L,q'(t)]*h'(t) dt,{t1,t2}]=Integrate[D[L,q'(t)] dh(t),{h(t1),h(t2)
]
=h(t2)*D[L,q'(t2)]-h(t1)*D[L,q'(t1)]-Integrate[h(t)*(d/dt)D[L,q'(t)]
dt,{t1,t2].

(以上用的是分部积分法)

由于问题中积分边界上一般有限制: 边界固定. 所以: h(t1)=h(t2)=0.于是:

Integrate[D[L,q'(t)]*h'(t) dt,{t1,t2}]
=-Integrate[h(t)*(d/dt)D[L,q'(t)] dt,{t1,t2]

Hence:

Integrate[D[L,q]*h(t)+D[L,q'(t)]*h'(t), {t,t1,t2}]=0=>

Integrate[D[L,q]*h(t)-h(t)*(d/dt)D[L,q'(t)] dt, {t,t1,t2}]=0=>
由于问题中积分边界上一般有限制: 边界固定. 所以: h(t1)=h(t2)=0.于是:

Integrate[D[L,q'(t)]*h'(t) dt,{t1,t2}]
=-Integrate[h(t)*(d/dt)D[L,q'(t)] dt,{t1,t2]

Hence:

Integrate[D[L,q]*h(t)+D[L,q'(t)]*h'(t), {t,t1,t2}]=0=>

Integrate[D[L,q]*h(t)-h(t)*(d/dt)D[L,q'(t)] dt, {t,t1,t2}]=0=>

Integrate[h(t)*(D[L,q]-(d/dt)D[L,q'(t)]) dt, {t,t1,t2}]=0

由于h(t)是任意小函数,上式成立必要求

D[L,q]-(d/dt)D[L,q'(t)]=0

这是关于t的常微分方程. 由于L是给定的函数,该方程可求出函数q(t).即:

使泛函S(q)取极值的函数形式q(t).

上述方程在物理中称为: Lagrange equation.

上述思想可用于非常复杂的情况.比如说弯曲能决定的膜的平衡形状.下次
介绍膜的问题.

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