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mathworker数学聊斋, 谈一些数学学习心得和一些自己的看法
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我还在学校时在校园论坛上发的一个系列文章。当时的大多数文章都没留下，只整理了这一个算作纪念。说实话，这个系列没写好。也许对别人还有点用吧。 楼主 mathworker数学聊斋 曾写过《mathworker数学随想录》有为后人解惑之意。快半年过去了，现在又到了新的一年，心境已经又有了变化。现开设数学聊斋，不敢再有指导他人之意，仅聊以自慰。每日与数学朝夕相对，自然是有些想法的。有时候不吐不快。所以将写下现在的这个系列，记录前进的历程。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-1-5 16:28:00 第2楼 读书心情 读数学书是需要好心情的。在无忧无虑，心情平静的时候，翻开一本已经熟读过但意犹未尽的数学书，悠然自得地品味一番，或纵横捭阖，或阐发精微。读书的快乐莫过于此。捧着数学书却只是为名为利，总想着马上便从中获得什么，是不能体会到读书的快乐的。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-1-5 16:38:00 第3楼 函数是分析学中最重要的概念之一。泛函是在定义域上对函数概念作推广的结果。泛函分析中的算子理论对更一般的情形进行讨论。因此，从泛函分析的角度看，对函数概念在值域上作推广也是自然的。我们称定义在实直线或复平面的某子集并在指定的Banach空间中取值的映射为抽象函数。抽象函数概念的产生并不只是纯粹心灵的智慧，而是有着实际的应用背景。集中参数系统的数学模型常是一个以时间为自变量的线性常微分方程组，它的解即系统的状态便可看作是一个抽象函数。这是一个有穷维空间中的例子。一个十分有意义的更重要的例子是线性算子的预解式。线性算子的预解式的讨论是谱分析理论的重要组成部分，而它有着与普通的亚纯函数十分类似的性质。这刺激了抽象函数理论的产生，并且许多解析函数论的结果都被推广到了抽象函数上去，从而产生了抽象解析函数论。此外，算子半群也是特殊的抽象函数。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-1-5 16:41:00 第4楼 由于泛函分析中的收敛性有强弱多种形式，所以涉及收敛性的概念在向泛函分析上推广时也往往有强弱多种形式。利用范数定义的抽象函数的解析性为强解析性，而利用共轭空间的泛函定义的解析性则为弱解析性。在Banach空间中，强解析性和弱解析性是等价的。所以，抽象函数的解析性实质上是唯一的。抽象函数的积分定义有几种形式。数值函数的Riemann积分和Lebesgue积分在抽象函数上的推广形式分别为抽象函数的Riemann积分和Bochner积分。对于连续抽象函数，Riemann积分和Bochner积分是一致的。由Hahn-Banach泛函延拓定理，弱解析性把通常的复数值解析函数和抽象解析函数联系起来。从而通常数值解析函数的性质很容易推广到抽象解析函数上来。Cauchy积分定理、Cauchy积分表达式、Taylor展式对抽象解析函数都成立。特别地，整函数和亚纯函数的概念也可以推广到抽象解析函数上来。对抽象解析函数，Liouville定理(有界整函数必为常数)成立。还有许多重要的结论没有提及。 这样，我们不但有了Banach空间中的微积分理论，而且有了Banach空间中的解析函数论。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-1-8 11:07:00 第5楼 Lebesgue积分是Riemann积分的推广。这一推广的重要意义之一在于打破了极限运算（包括微分、积分）可交换性的限制。既然，积分概念在近代已有了进步。不禁要问，它的逆运算微分有没有得到推广？答案是肯定的，只是求导（微分）运算的推广走得更远。根源在于微分方程经典解向广义解的推广。广义导数的出现同样打破了极限运算（包括微分、积分）可交换性的限制。我们知道，求解一个微分方程就是积分一个微分方程。所以只有当微分、积分运算都得到推广时，微分方程的求解才能有实质性的飞跃。微分、积分运算的推广汇合起来就产生了偏微分方程近代理论中处于根基地位的Sobolev空间理论。自此，偏微分方程论进入了泛函分析的时代。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-1-8 11:28:00 第6楼 该毕业了，同时也无心再写下去。留下最后的告诫：如果你想成为数学家，一定要独立解答习题集，对自己进行系统而严格的数学训练，为今后的研究工作打下必要而扎实的基础。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-3-23 15:44:00 第10楼 在受过一次挫折后，我曾打算退出网络论坛，想从此销声匿迹。但最终我回来了，虽然元气尚未恢复，我已决心振奋精神、东山再起。我曾写过：我志所向，愈挫愈坚。这一次的挫折只会让我更加奋起。绯红数学屋斑竹liuyu已在无奈中离去，我将坚守阵地到最后一分钟。 数学聊斋写作之初定位于研究生学术水准，现在我认为还是面向大众的好。今后我将尽力写尽可能多的人能读懂的文章。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-4-13 20:45:00 第23楼 我说过学数学和做数学是不同的，并表示尽自己可能的写点关于做数学的东西。但是现在，在数学建模版“如何写好论文”中可下载到邱成桐的演讲《我研究数学的经验》。名家手笔，非比寻常。大家认真读一读，省得我班门弄斧了 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-4-21 11:53:00 第24楼 关于两种好的数学教材的一点评述 好的数学教材有两种：一种侧重按照人的认识规律写作，浅显易懂、讲解细致入微，内容由浅入深逐步展开，适于入门用，例如周民强、柯朗、辛钦等的书；另一种侧重逻辑演绎体系的结构，在高观点的统帅下内容精练、结构简洁明了，适于提高用，例如龚升、卢丁等的书。华罗庚说书要读厚再读薄，这两种教材正好反映了这两个过程。学数学的人这两种教材都应当读读。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-6-5 19:47:00 第25楼 数学学习的三种境界 我给数学学习划分了三种境界，如下： 1、入门。属于形式上的掌握，能够模仿解决问题，对于原理不甚明了。一般大学课堂里的学习就属于这一阶段，学了之后很容易忘。 2、理解。将所学内容在逻辑上全部细致地推导过，没有留下不明白的地方。到达这一阶段，必须经过刻苦自学。只有经过自己思考理解消化了的东西才不容易忘。为了检验是否已经理解，解题是必不可少的环节。 3、熟能生巧。不只是逻辑上没有缺陷，而且对内容达到极为熟悉的地步。数学知识、基本的数学技巧在大脑中已经成了常识，能够自由的运用。这是一个研究人员应达的境界。 附加一点：对知识的理解程度有无尽头呢？你不达到无人能够超越的理解地步，如何作出他人不能完成的成果呢？“学习”不是课堂上学习那样简单，你如何看待学习，将直接决定你能学到什么程度。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 2004-6-5 20:17:00 第26楼 结束陈词： 写了那么多的关于数学的帖子，有没有意义呢？我自己的水平有限，我的观点中难免有错误与不足之处，不会误导别人吧？我走了，会有人接着写数学吗？这些问题让时间来回答吧。我走了。 ---------------------------------------------- 发愤早为好，苟晚休嫌迟，最忌不努力，一生都无知。 －－－－华罗庚 志之难也，不在胜人，在自胜。 |
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