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OpticalBoy

铁虫 (初入文坛)

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[交流] 重标极差法

Hurst 指数可由R/ S 统计法确定。这种方法是
Hurst 长期研究尼罗河的流量变化后提出的。为了合理
控制水库的泄水量使其保持不枯不溢的理想状态,Hurst
测算了水库蓄水量随时间在平均水平附近波动的范围。
Hurst 用这个变动范围除以观察值的标准差得到一个无
量纲的量,使不同的序列具有可比性。这种分析称为重
标极差法(rescaled range) ,也称R/ S 法[3] 。
Rn 是一个时间序列中n 个数据偏离其均值的累
加值的极差,称为n 个数据的极差,表示时间序列最
大的变化范围; S n 是时间序列的标准差,表示偏离均
值的程度,是分散程度的测度。Rn/ Sn 表示极差的大
小重新用Sn 来衡量,这就是重标极差法的名字的由
来。R/ S 统计分析可用来研究一大类问题,对于方差
发散或有长期记忆作用的随机过程都适用。下面我
们具体给出R/ S 分析的过程。考虑一个收益率序列y1 , y2 , ⋯, yn 。yi 偏离均值
的累积和为:
Xt , n = ∑ti =1( yi - mn) (7)
其中, Xt , n是n 期的累积偏差, mn 是n 期的平均值。
n 个数据的极差就是式(7) 最大和最小值之差:
Rn = max1 ≤t ≤n{ Xt , n} - min1 ≤t ≤n{ Xt , n} (8)
其中, Rn 是X 的极差。
为了比较不同类型的时间序列,用极差除以标准
差(即重标极差) 得到:
Rn/ Sn = max1 ≤t ≤n∑ ti = 1( yi - mn) - min1 ≤t ≤n∑ ti = 1( yi - mn) / Sn (9)
其中, S n =1n ∑ni =1( yi - mn) 212
重标极差应该随时间而增加。Hurst 建立了以下关系:
R/ S = a3nH (10)
其中, a 为常数。
如果序列是一个随机序列, H 应该等于0. 5 ,即累
积离差的极差应该随时间的平方根增加。一般地, H不等于0. 5 ,可这样求出:对式(10) 两边先取对数得:
ln ( R/ S) = Hln n + ln a (11)
因此可画出ln ( R/ S) 和ln n 的双对数图,用直线拟合。
直线的斜率就给出了Hurst 指数的一个估计。

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