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OpticalBoy

铁虫 (初入文坛)

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[交流] 分数布朗运动与Hurst 指数

Hurst 是一个水文工作者,他长期研究尼罗河流量
的变化,以决定水库的排水量。在多年的水文数据
中,他发现数据不服从布朗运动及正态分布的特性。
而且如果有一年水量较大,次年的水量也往往较大。
在布朗运动中,数据的方差与观察时间间隔Δt 成正
比。Hurst 却发现河流数据的方差与(Δt) 2 H成正比[2 ] ,
其中, H 后来称为Hurst 指数。对特殊情形H = 0. 5
时,就是布朗运动,但一般情形H 并不等于0. 5。此
后,Hurst 发现一大类自然现象随时间演化的行为都不
能用布朗运动刻划,即2 H 都不是整数,因而称为分数
布朗运动布朗运动是一个特殊的随机过程。考虑在x 轴
上随机行走的微粒,每隔τ秒跳跃的步长为+ ξ或
- ξ,设步长服从正态分布
p (ξ,τ) =
1
2πτ
exp -
ξ2
2τ
(1)
则t = nτ时间后,微粒的位移为x ( nτ) = ∑
n
i =1
ξi
。当
时间步长趋于无穷小时,离散变量x 就成为连续的随
机过程———布朗运动,用B ( t ) 表示,也叫维纳过程
(Winer) 。维纳过程是独立、平稳增量过程,且B ( t) 的
增量服从Gauss 过程。
对式(1) 进行标度变换,ξ ^ = λ0. 5ξ,τ ^ = λτ ,得:p (ξ ^ ,τ ^ ) = λ- 0. 5 p (ξ,τ) (2)
表明当时间标度增大λ倍,长度标度增大λ0. 5时,布朗
随机过程的概率密度函数增大λ- 0. 5 。因此,布朗运动
的概率密度函数具有标度不变性。
对布朗运动进行非整数微积分可得分数布朗运
动。Mandelbrot 给出了分数布朗运动BH ( t ) 的表达
式为:
BH ( t) =
1
Γ( H + 0. 5)∫x
- ∞
K( t - t′) dB ( t′) (3)
式中积分核
K( t - t′) = ( t - t′) H- 0. 5 　0 ≤ t′ ≤ t ( t -
t′) H- 0. 5- ( - t′) H- 0. 5 　t′< 0 (4)
式(3) 其实是对布朗运动求H 0. 5 阶积分。因此,对于布朗运动成立的规则,质点的位移与时间的平方根
成正比,相应与分数布朗运动就变成位移与时间的H
次方成正比。
另外,式(3) 积分一般是发散的,但增量BH ( t +
Δt) - BH ( t) 是有限的,是平稳、相关的随机过程。而
且,分数布朗运动具有长期相关性。因为H ≠0. 5 时,
观察值之间不独立。每个观察值对于发生在其前面
的时间有一定的记忆。这种记忆能够表示长期记忆,
也就是分数布朗运动的长程相关性,特别是它的未来
增量与过去增量BH ( - t ) 是相关的:给定从- t 到0
的过去增量BH (0) - BH ( - t ) ,就平均而言在过去增
量的分布中含有未来增量BH ( t) - BH (0) 的概率是:
E BH (0) - BH ( - t) BH ( t) - BH (0) (5)
如果令BH (0) = 0 ,则未来增量BH ( t ) 与过去增量
BH ( - t) 间的相关函数可以写为:
C( t) =
E - BH ( - t) BH ( t)
E BH ( t) 2 = 22 H- 1 - 1 (6)
其中H 为Hurst 指数, C 为相关系数。
由式(6) 可得:
(1) 当H = 0. 5 时,过去和未来增量间的相关系
数为0 ,表明现在不影响未来,这说明增量过程是一个
独立的随机过程,布朗运动是其特殊情况。
(2) 当H ≠0. 5 时,为分数布朗运动。此时,增量
之间不再相互独立。但是这个过程与马尔科夫过程
所具有的短期记忆行为不同,分数布朗运动的记忆作
用是长期的。(而且长期记忆只与Hurst 指数的大小
有关,没有标度性,因此它具有分形的特征) H 值指示
了这种长期记忆作用的特性。
①0. 5 < H < 1 ,有持久性效应。表明过去一直增
长意味着未来这种趋势将继续下去,而且对任意大的
时间t 都是如此。反之,过去的减少趋势就平均而言,
意味着未来的连续减少。H 越接近1 ,趋势越明显; H
越接近0. 5 ,逐渐趋于随机性。这种长期记忆作用使
得随机过程呈现一定的趋势,增量间有一定的正相
关性。
②0 < H < 0. 5 ,增量间是负相关的,称为反持久
性效应(antipersistent) 。如果过去是增长的,则下一时
刻下降的可能性更大;反之,过去是下降的,则下一时
刻上升的可能性更大。反持久性效应的强度取决于
H 接近0 的程度。H 越接近0 ,则C 越接近- 0. 5 ,负
相关性越强。因为这种过程有更多的频繁反转,所以比布朗运动波动更加剧烈,这意味着其分形维数大于
布朗运动的维数。

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