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高斯：离群索居的数学王子
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写在《算术研究》发表200周年之际－－－－－作者：蔡 天 新 数学神童 历史上间或出现神童。神童常常出现在数学、音乐、棋艺等方面。卡尔·弗 雷德里希·高斯，一位数学神童，是各式各样的天才里最出色的一个。就像狮子 号称万兽之王，高斯在数学家之林中称王，他有一个美号——数学王子。高斯不 仅被公认为是十九世纪最伟大的数学家，并且与阿基米德、牛顿并称为历史上三 个最伟大的数学家。现在阿基米德和牛顿的名字早已进入了中学的教科书，他们 的工作或多或少成为大众的常识，而高斯和他的数学仍遥不可及，甚至于在大学 的基础课程中也不出现。但高斯的肖像画却赫然印在10马克——流通最广泛的德 国纸币上，相应地出现在美元和英镑上的分别是乔治·华盛顿和伊丽莎白二世。 1777年4月30日，高斯出生在德国下萨克森洲的不伦瑞克（Braunscheig ），他的祖先里没有一个人可以说明为什么会产生高斯这样的天才。高斯的父 亲是个普通的劳动者，做过石匠、纤夫、花农，母亲是他父亲的第二个妻子，当 过女仆，没有受过什么教育，但她聪明善良，有幽默感，并且个性很强，她以97 岁高寿仙逝，高斯是她的独养儿子。据说高斯3岁时就发现父亲帐簿上的一处错 误。高斯9岁那年在公立小学读书，一次他的老师为了让学生们有事干，叫他们 把从1到100这些数加起来，高斯几乎立刻就把写好结果的石板面朝下放在自己的 桌子上，当所有的石板最终被翻过时，这位老师惊讶地发现只有高斯得出了正确 的答案：5050，但是没有演算过程。高斯已经在脑子里对这个算术级数求了和， 他注意到了1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101……这么一来，就等于50个 101相加，从而答案是5050。高斯在晚年常幽默地宣称，在他会说话之前就会计 算，还说他问了大人字母如何发音，就自己学着读起书来。 高斯的早熟引起了不伦瑞克公爵的注意，这位公爵是个热心肠的赞助人。高 斯14岁进不伦瑞克学院，18岁入哥廷根大学。当时的哥廷根仍默默无闻，由于高 斯的到来，才使得这所日后享誉世界的大学变得重要起来。起初，高斯在做个语 言学家抑或数学家之间犹豫不决，他决心献身数学是1796年3月30日的事了。当 他差一个月满19岁时，他对正多边形的欧几里德作图理论（只用圆规和没有刻度 的直尺）做出了惊人的贡献，尤其是，发现了作正十七边形的方法，这是一个有 着二千多年历史的数学悬案。高斯初出茅庐，就已经炉火纯青了，而且以后的五 十年间他一直维持这样的水准。高斯所处的时代，正是德国浪漫主义盛行的时代。 高斯受时尚的影响，在其私函和讲述中，充满了美丽的词藻。高斯说过：“数学 是科学的皇后，而数论是数学的女王。”那个时代的人也都称高斯为“数学王 子”。事实上，纵观高斯整个一生的工作，似乎也带有浪漫主义的色彩。 对自然数的迷恋 数论是最古老的数学分支之一，主要研究自然数的性质和相互关系。从毕达 哥拉斯时代人们就沉湎于发现数的神秘关系之中，优美、简洁、智慧是这门科学 的特点。就像其他数学神童一样，高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在1808年 谈到：“任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与 狂热。”现代数学最后一个“百事通”——大卫·希尔伯特的传记作者在谈到大 师放下代数不变量理论转向数论研究时指出：“数学中没有一个领域能够象数论 那样，以它的美——一种不可抗拒的力量，吸引着数学家中的精华。”画家瓦西 里·康定斯基也认为：“数是各类艺术最终的抽象表现。”我注意到一些不曾研 究过数论的伟大数学家，如帕斯卡尔、笛卡尔、牛顿和莱布尼兹，他们都把后半 生的精力奉献给了哲学或宗教，唯独费尔马、欧拉和高斯这三位对数论有着杰出 贡献的数学家，却终其一生都不需要任何哲学和宗教，因为他们心中已经有了最 纯粹、最本质的艺术——数论。 这里我想引用印度数学天才拉曼纽扬的故事来说明数论学者与自然数的“情 谊”，这位泰戈尔的同胞来自印度最南端的泰米尔纳德邦，是个贫穷的办事员， 从没有受过高等教育，但他具有快速并且深刻地看出复杂的数的关系的惊人才华。 著名的英国数学家G·H·哈代在1913年“发现”了他，并于次年把他邀请到英国， 入剑桥大学。哈代有一次去探望病中的拉曼纽扬时对他讲，自己刚才乘坐的出租 汽车车号1729似乎没有什么意义，但愿它不是一个不祥的预兆。拉曼纽扬却回答： “不，这是一个很有意思的数，1729是可以用两种方式表示成两个自然数立方和 的最小的数（既等于1的三次方加上12的三次方，又等于9的三次方加上10的三次 方）。哈代又问，那么对于四次方来说，这个最小数是多少呢？拉曼纽扬想了想， 回答说：“这个数很大，答案是635318657。”（既等于59的四次方加上158的四 次方，又等于133的四次方加上134的四次方） 《算术研究》：数论的法典 1801年，年仅24岁的高斯出版了《算术研究》，从而开创了现代数论的新纪 元。书中出现了有关正多边形的作图，方便的同余记号以及优美的二次互反律的 首次证明等。这部伟大的著作曾经寄到法国科学院而被拒绝，但高斯自己把它发 表了。和高斯的前期作品一样，它是用拉丁文写的，这是当时科学界的世界语， 然而由于受十九世纪初国家主义的影响，高斯后来改用德文写作。如果他和其他 研究者坚持使用拉丁文，也许今日我们就可以免除语言上的困扰了。在那个世纪 的末端，集合论的创始人康托这样评价： 《算术研究》是数论的宪章。高斯总是迟迟不肯发表他的著作，这给科学带 来的好处是，他付印的著作在今天仍然像第一次出版时一样正确和重要，他的出 版物就是法典。比人类其它法典更高明，因为不论何时何地从未发觉出其中有任 何一处毛病，这就可以理解高斯暮年谈到他青年时代第一部巨著时说的话： “《算术研究》是历史的财富。”他当时的得意心情是颇有道理的。 关于《算术研究》，还流传着这样一个故事，1849年7月16日，哥廷根大学 为高斯获得博士学位五十周年举行庆祝会。当进行到某一程序时，高斯准备用 《算术研究》的一张原稿点烟，当时在场的数学家狄里克雷（后来继承了高斯的 职位），像见到渎圣行为一样吃了一惊，他立刻冒失地从高斯手中抢下这一页纸， 并一生珍藏它；他的编辑者在他死后从他的论文中间找到了这张原稿。 和艺术家一样，高斯希望他留下的都是十全十美的艺术珍品，任何丝毫的改 变都将破坏其内部的均衡。他常说：“当一幢建筑物完成时，应该把脚手架拆除 干净。”高斯对于严密性的要求也非常苛刻，使得一个定理从直觉的形式到完整 的数学证明，中间有一段很长的过程。此外，高斯十分讲究组织结构，他希望在 每一个领域中，都能树立起一致而普遍的理论，从而将不同的定理联系起来。鉴 于上述原因，高斯很不乐意公开发表他的东西。他的著名的警句是：宁肯少些， 但要成熟。为此，高斯付出了高昂的代价，包括把非欧几何学和最小二乘法的发 明权让给了罗巴切夫斯基、鲍耶和勒让德，就如同费尔马把解析几何和微积分的 发明权让给了笛卡尔和牛顿、莱布尼兹。 从做出有关正多边形发现的那天起，高斯开始了著名的数学日记，他以密码 式的文字记载下许多伟大的数学发现。高斯的这本日记直到1898年才被找到，它 包括146条很短的注记，其中有数值计算结果，也有简单的数学定理。例如，关 于正多边形作图问题，高斯在日记中写到： 圆的分割定律，如何以几何方法将圆十七等分。 又如1796年7月10日的记载， num＝△＋△＋△ 意指“每个自然数都是三个三角形数之和”。就像莫扎特一样，高斯年轻时 候风起云涌的奇思妙想使他来不及做完一件事，另一件又出现了。 多才多艺 高斯不仅是数学家，还是那个时代最伟大的物理学家和天文学家之一。在 《算术研究》问世的同一年，即1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛 观察到在白羊座（A r ie s）附近有光度八等的星移动，这颗现在被称作谷神星 （C e re s）的小行星在天空出现了41天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下 没了踪影。当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，这个问题很快成了 学术界关注的焦点，甚至成了哲学问题。黑格尔就曾写文章嘲讽天文学家说，不 必那么热衷去找寻第八颗行星，他认为用他的逻辑方法可以证明太阳系的行星， 不多不少正好是七颗。高斯也对这颗星着了迷，他利用天文学家提供的观测资料， 不慌不忙地算出了它的轨迹。不管黑格尔有多么不高兴，几个月以后，这颗最早 发现迄今仍是最大的小行星准时出现在高斯指定的位置上。自那以后，小行星、 大行星（海王星和冥王星）接二连三地被发现了。 在物理学方面高斯最引人注目的成就是在1833年和物理学家韦伯发明了有线 电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、 测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。即使是数学方面， 我们谈到的也只是他年轻时候在数论领域里所做的一小部分工作，在他漫长的一 生中，他几乎在数学的每个领域都有开创性的工作。例如，在他发表了《曲面论 上的一般研究》之后大约一个世纪，爱因斯坦评论说：“高斯对于近代物理学的 发展，尤其是对于相对论的数学基础所作的贡献（指曲面论），其重要性是超越 一切，无与伦比的。” 高处不胜寒 在高斯的时代，几乎找不到什么人能够分享他的想法或向他提供新的观念。 每当他发现新的理论时，他没有人可以讨论。这种孤独的感觉，经年累月积存下 来，就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。这种智慧上的孤独，在历史上只有 很少几个伟人感受过。高斯从不参加公开争论，他对辩论一向深恶痛绝，他认为 那很容易演变成愚蠢的喊叫，这或许是他从小对粗暴专制的父亲一种心理上的反 抗。高斯成名后很少离开过哥廷根，他曾多次拒绝柏林、圣彼德堡等地科学院的 邀请。高斯甚至厌恶教学，也不热衷于培养和发现年轻人，自然就谈不上创立什 么学派，这主要是由于高斯天赋之优异，因而心灵上离群索居。可这不等于说高 斯没有出类拔萃的学生，黎曼、狄里克雷都堪称伟大的数学家，戴特金和艾森斯 坦也对数学作出了杰出贡献。但是由于高斯的登峰造极，在这几个人中，也只有 黎曼（在狄里克雷死后继承了高斯的职位）被认为和高斯比较亲近。 和高斯同时代的伟大数学家雅可比和阿贝尔都抱怨高斯漠视了他们的成就。 雅可比是个很有思想的人，他有一句流传至今的名言：“科学的唯一目的是为人 类的精神增光”。他是高斯的同胞，又是狄里克雷的丈人，但他一直没能和高斯 攀上亲密的友情。在1849年哥廷根那次庆祝会上，从柏林赶来的雅可比坐在高斯 身旁的荣誉席上，当他想找话题谈数学时，高斯不予理睬，这可能是时机不对， 当时高斯几杯甜酒下肚，有点不能自制；但即使换个场合，结果恐怕也是一样。 在给他兄弟论及该宴会的一封信中，雅克比写到，“你要知道，在这二十年里， 他（高斯）从未提及我和狄里克雷……” 阿贝尔的命运很惨，他与后来的同胞易卜生、格里格和蒙克一样，是在自己 领域里唯一取得世界性成就的挪威人。他是一个伟大的天才，却过着贫穷的生活， 毫无同时代人的了解。阿贝尔20岁时，解决了数学史上的一个大问题，即证明了 用根式解一般五次方程的不可能性，他将短短六页“不可解”的证明寄给欧洲一 些著名的数学家，高斯自然也收到了一份。阿贝尔在引言中满怀信心，以为数学 家们会亲切地接受这篇论文。不久，乡村牧师的儿子阿贝尔开始了他一生唯一的 一次远足，当时他想以这篇文章作敲门砖。阿贝尔此行最大的愿望就是拜访高斯， 但高斯高不可攀，只是将论文瞄了几行，便把它丢在一旁，仍然专心于自己的研 究工作。阿贝尔只得在从巴黎去往柏林的旅途中，以渐增的痛苦绕过哥廷根。 高斯虽然孤傲，但令人惊奇的是，他春风得意地度过了中产阶级的一生，而 没有遭受到冷酷现实的打击；这种打击常无情地加诸于每个脱离现实环境生活的 人。或许高斯讲求实效和追求完美的性格，有助于让他抓住生活中的简单现实。 高斯22岁获博士学位，25岁当选圣彼德堡科学院外籍院士，30岁任哥廷根大学数 学教授兼天文台台长。虽说高斯不喜欢浮华荣耀，但在他成名后的五十年间，这 些东西就像雨点似的落在他身上，几乎整个欧洲都卷入了这场授奖的风潮，他一 生共获得75种形形色色的荣誉，包括1818年英王乔治三世赐封的“参议员”， 1845年又被赐封为“首席参议员”。高斯的两次婚姻也都非常幸福，第一个妻子 死于难产后，不到十个月，高斯又娶了第二个妻子。心理学和生理学上有一个常 见的现象，婚姻生活过得幸福的人，常在丧偶之后很快再婚，一生赤贫的音乐家 约翰·塞巴斯蒂安·巴赫也是这样。 一个伟大的文化结晶 高斯始终没有忘记不伦瑞克公爵的恩情，他一直对他的赞助人在1806年惨死 在拿破仑手下这件事耿耿于怀，因而拒不接受法国大革命的信条和由此引发的民 主思潮的影响，他的学生都称他为保守派。从这点来看，高斯可以说是贵族专制 社会体系中最后一个——也是最伟大的一个——文化结晶。高斯很喜欢文学，他 把歌德的作品遍览无遗，却不怎么推崇。由于与生俱来的语言特长，使高斯阅读 外文得心应手。他精通英语、法语、俄语、丹麦语，对意大利语、西班牙语和瑞 典语也略知一二，他的私人日记是用拉丁文写的。高斯50岁时，又开始学习俄语， 部分原因是为了阅读年轻的诗人普希金的原作。不过，高斯的语言天赋在数学家 中并不算最突出的，使爱尔兰人在数学领域享有盛誉的神童哈密尔顿，他在13岁 的时候就能够流利地讲13种外语。高斯爱看蒙田、卢梭等人的作品，却不怎么喜 欢莎士比亚的悲剧，但他选择了《李尔王》中的两行诗作为自己的座右铭， 大自然啊，我的女神， 我愿为你献身，终身不渝。 高斯最钦佩的英语作家是司各特，几乎阅读了他所有的作品。有一次，高斯 在司各特爵士有关自然景观的描述中找到了一个错误（满月是从西北方向升起来 的），因而狂喜不已。他不仅在自己那本书上把它纠正过来，还跑到哥廷根书店 把其它未售出的书都改了。 和所有伟大的数学家一样，抽象符号对高斯来说并非虚幻而不真实的。有一 次他谈到：“灵魂的满足是一种更高的境界，物质的满足是多余的。至于我把数 学应用到几块泥巴组成的星球，或应用到纯粹数学的问题上，这一点并不重要。 但后者常常带给我更大的满足。”高斯的身体一直不错，在他晚年受到病魔袭击 之前，他一直没有在宗教或精神上花时间。心脏病不断摧毁他的意志，1848年， 高斯写信给他最亲密的朋友说：“我经历的生活，虽然像一条彩带飞舞过整个世 界，但也有其痛苦的一面。这种感受到了年迈的时候更是不能自持，我乐于承认， 如果换一个人来过我的生活的话，也许会快乐得多。另一方面，这更使我体会到 生命的空虚，每一个接近生命尽头的人，都一定会有这种感觉……”他又说： “有些问题，如果能解答的话，我认为比解答数学问题更有超然的价值，比如有 关人类和神的关系，我们的归宿，我们的将来等等。这些问题的解答，远超出我 们能力之所及，也非科学的范围内能够做到。”1855年2月23日清晨，高斯在睡 梦中平静地与世长辞，享年77岁。他曾经要求在他的墓碑上刻一个正十七边形， 但事与愿违，在不伦瑞克的高斯纪念塔上所刻的是一颗有十七个角的星，因为雕 刻工认为正十七边形刻出来后几乎和圆一模一样。 高斯曾被形容为：“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学 的天才。”他将自己的数种天赋——有创造力的直觉，卓越的计算能力，严密的 逻辑推理，十全十美的实验——和谐地组合在一起，这种能力的组合使得高斯出 类拔萃，在人类历史上找不到几个对手。习惯上只有阿基米德和牛顿与他相提并 论，他们都非常多才多艺。以理论家来说，爱因斯坦也属同一水准，但他有所限 制，因为他不是实验家。 |
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