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liyuanzhang007金虫 (正式写手)
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(1)Gromov-Witten 不变量 来自于辛几何，起源于Gromov那篇经典的文章。真正的进展是Witten的工作，以及后来很 多人的努力，包括Y. Ruan, Kontsevich&Manin, Gang Tian, Fukaya, Jun Li, Eliashbe rg, Ionel&Parker，K. Liu 等等。其中值得注意的是Jun Li&Gang Tian定义了Virtual f undamental class,使得Gromov-Witten不变量可以在一般的辛流形上定义（以前只能对某 一类辛流形有定义），并且定义了代数的Gromov-Witten不变量.在这基础上，后来有人推 广了Atiyah&Bott的Localization到这种情形下，并结合Kontsevich的想法，使得具体的计 算成为可能。 (2)Selberg-Witten 不变量 (3)Donaldson polynomial 70年代末，ADHM等人构造了S^4上的instanton的模空间, 在对这个例子的计算中可以看到 一些Cobodism的痕迹。Donaldson首次利用4流形上的这个模空间构造了一个4流形到#CP^2 (n copies)的Cobodism, 后来他在模空间上对一些特殊的微分形式积分，得到了多项式不 变量。具体的很长，可以看他的那本4流形的几何学。 (4)Mirror Symmetry 其中有A_{infinity} algebra, Fukaya Category, Floer Homology（用来解决了Arnold Conjecture,有很多推广形式), Derived Category of coherent sheaves(据说是描述D-branes的正确数学语言，呵呵), Special Lagrangian submanifold, Dexxxxation Quantization(Kontsevich的研究方向，忘了最早提出来的人的名字了，不过 他曾经用这个做过Index定理的推广) 有一件事情很有趣，如果你在教室门口听到里面在讲Calabi-Yau的模空间，那你千万不要 认为那是数学讲座，几乎可以肯定地说，那是物理系讲座，因为还没有数学家可以这么自 信的说这个模空间存在（或者到底怎么定义），更别说他是什么样子的。 (5)Hodge Conjecture 这是七个百万美金问题之一，其他的有Riemann Hypothesis,BSD Conjecture,Yang-Mills Theory,Poincaré Conjecture,NP,Navier-Stokes Equations. (6)Motive 大概是Grothendieck最先提出来，当时为了解决Weil Conjecture,但一个成熟的数学家知 道，为了解决问题而解决问题是没有前途的，很多问题背后是有理论依据的，用一套孤立 的方法来解决一个问题是迟早要被淘汰的，所以Grothendieck兄就在找Weil猜想背后的整 套理论体系，使得这个猜想只是他的一个小推论。这个目标至今没有实现，Deligne的证明 在G兄看来可能不过是权宜之计，并没有真正解决问题，所以他在1968年说代数几何的当务 之急是证明Resolution of singularities以及他提出的Standard Conjecture(关于Algeb raic Cycle的）。 |
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