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[交流]
数学的符号美
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数学的世界是一个符号的世界。数学语言"就像一座灯塔，照亮了自然的未被揭示 的秘密"。数学语言是由一些符号和记号组成的语言。因此"符号是交流与传播数学思想 的媒介"。下面我们就从不同的几个方面看看数学的符号美。 一， 数学符号的发展 几百年前，代数与算数是没差别的。那时解一道数学题十分繁琐，全靠文字表述。例如 "+"，"-"这两种运算，必须写成plus 与minus。"="则写成aequalis，未知数则写成rad ix。因此，如 这样简单的一个方程，在十六世纪数学家的笔下是： qdratu aeqtar 4 rebus p:32。这样的表述只能解决具体的个别的问题，很难将问题抽象到一般形式加以 研究。因此数学家们开始采用文字系数并设计了各种代数符号。其过程大致分为五个阶 段：建立自然数和分数的符号体系，特别是引入位值制计数法及零的特殊符号；建立代 数的符号体系；与微积分学的产生向联系的符号的发展；集合论与数理逻辑符号在数学 中的发展和渗透；高速电子计算机的出现刺激了数学符号的新的发展。随着数学的发展 ，数学符号也将不断发展。 二， 数学符号美的几个方面 （一） 简洁性 数学符号的见解形式数学家追求的主要目标。著名数学家付立叶在创立"付立叶级数"时 ，也进行了相关简单性的考虑，正如他自己所说："没一个数学函数，无论多复杂，总可 表示为某些简单的基本函数之和。" 也真是数学符号简化了复杂的数学理论，且把远离的数学理论巧妙地联系起来。例如哈 密顿算子-一种重要的微分算子。 由它作为工具，可导出一系列美妙的结论。 当它作用于数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度 ， 这是一个代表u在空间中最大变化率 的大小和方向的符号。 当它作用于向量场函数 是x、y、z的函数），有 这是一个"四元数"，其数量部分称为v的散度，向量部分称为v 的旋度。 若用哈密顿算子，v的散度，旋度又分别克表示为 十九世纪末，麦克思韦的电磁学方程组，其微分形式就是用哈密顿算子表示的，其简洁 与美妙自不待言。 拉普拉斯方程 若用哈密顿算子表示也十分漂亮、利落。 如此看来，数学符号的简洁性对于数学本身和科学领域的其它学科是多 重要的。同时数学符号的简洁美令数学的美简单明了。 （二） 方便性 数学符号的另一大特点就是它的方便性，正是数学符号的方便性决定了它持久的生命力 。数学符号一直不断地在方便性上逐步改进，不断完善它美的魅力。二进制的得宠就在 于它便于电子计算机的使用。首先二进制只需0和1两个数码就可表示一切数目。这对于 计算机来说是最为有利的，可以大大简化计算机的"运算器"。每一数位上的数字1和0最 适宜表示为电路中电信信号的存在和消失。如"1"表示电压脉搏冲的存在，"0"表示脉冲 的消失。这样，二进制的任何数就可以用排成一定顺序的脉冲表示。因此，只要找到一 种具有两种稳定状态的元体就可以使用二进制表示数了。这种元体是很多的。但用十进 制就要找到具有十种稳定状态的元体，这在技术上是困难的。再者，而今值得运算比较 简单，可以大大提高运算速度，这对于电子计算机来说是至关重要的。由此可看出，一 种符号的方便性有助于各方面的发展，而数学符号的方便性不仅给数学本身带来便捷， 而且也促进了其它科学的发展。 （三） 和谐性 数学中许多数学概念的意义是随数学的发展而逐步丰富的，而一系列符号的相互和谐就 是概念的适用范围更广。"0！"是如何得来的？n是自然数时，"n！"表示从1开始的n个自 然数的乘积，即n！= 按这一规定n=0时，"0！"没意义，那该如何？看公式 右边 为了使公式仍成立，必须规 定0！=1，妙的是，符号0！=1的和谐性在更高层次中得到了保证，积分 分部积分，得 重复使用 n=0是成立0！=1，由此可见，不同数学概念之间存在着内部的联系，而数学符号的和谐 性正体现了这种联系，这是一件多么令人惊讶的美！ 三， 数学符号美的作用 (一)数学符号的魅力推动数学发展 几百年来，由于某些数学符号、数学表达式具有神奇的诱惑力，成千上 的学者的奋斗不仅促进问题本身逐步解决，还推动了数学思想的发展，促进数学方法的 革新。譬如大家熟知的小小的字母e，e是数列 的极限，即 ，该数列的发现与数的 发明有关。1727年欧拉用"e"表示极限 。引入e后，对编制对数表有明显的效果。它的 另一显赫功劳是，帮助人们证明了 的超越性，从而彻底解决了"化圆为方"问题。在"化 圆为方"问题中涉及到 这样的几何量，要解决"化圆为方"问题，就需要对 作定性研究 - 是不是超越数？1873年，法国数学家埃密特证明了e是超越数，1882年德国数学家林德 曼在埃密特证明e是超越数的基础上，借助欧拉公式 证明了 也是超越数（超越数：如果 不是任何正系数代数方程的根）。"化圆为方"问题就迎刃而解了。由解析几何知道，一 个几何图形可用尺规作出，必须且只需要其中所要作出的几何量可以又给定的几何量经 过有限词的四则运算和开方获得。因 是超越数，不可能由r经由献词四则运算获得 ，故 用尺规作图不可能。。由于e的帮助，这二千多年的悬案才宣告了结。17世纪中叶在发现 了双曲线下的面积与自然对数之间的联系 之后，人们逐渐了解到很多重要的函数、重要 的极限、微分与积分都与数e有着极为密切的关系。自然数的求导运算特别方便，所以在 理论研究时愿采用自然对数而不用常用对数。也正因此，e成了一特别重要的无理数。可 见许多如e这样的数所使用的符号，没有什么意义上的纸上符号，居然对生活的模样作出 世人所知的如此多的贡献。我们不能不惊叹于数学符号的魅力！ （二）数学符号刺激联想能力 1， 数学符号能刺激大脑，由眼前的数学对象沿纵深方向到相关的对象。举世瞩目的哥 德巴赫猜想是怎样引起的？观察下面几个等式： 3+7=10，3+17=20，13+17=30，可见它们之间有类似之处：等式左边3，7，13，17都是奇 素数；右边10，20，30都是偶数；这几个偶数均可表示为两个奇素数之和。哥德巴赫是 从"几个偶数"联想到"一切偶数"。根据归纳法猜测：任何一个大于4的偶数都是两个奇素 数之和。也许，哥德巴赫自己也未曾意识到，如此简单的猜想竟会发展为"数学皇冠上的 明珠"。这同时说明，简单的数学符号与符号之间，符号与图形之间可能存在着某些更深 的联系，这就要求我们善于观察，萨胡发现符号之间的内在联系，进一步揭示隐含的秘 密。 2， 数学符号能刺激大脑，由眼前的数学对象联想到邻近学科的相关对象。 "笛卡尔连接"就是源于代数与几何之间的横向联系。狭义的讲，"笛 尔 连接"是指几何图形与代数方程之间的结合。广义的讲"笛卡尔 接"是指一切分析的、逻辑的、抽象概念与综合的、直观的、具体形象 之间的结合。例如看到ax+by+c=0联想到直线； ，联想到 曲线在 处连续可导等等。数学粗浅的说就是代数与几何两大分支，而 且两者之间联系紧密，数学符号更鲜明的体现了这一点。表示代数式的 一些符号，或代数方程的一些符号，有时同时也表示了一些几何意义。 另外，我们也知道数学是其它许多学科的基础，就像某些微分方程在物 理中就表示具体的意义等等。所以说，数学符号不仅代表了数学中的意 思，而且也在其它学科中占有重要的地位。可以说，数学符号引起的联 想也极为广阔。 3， 数学符号能刺激大脑逆向联想。数学中有些概念是成对出现的，例如：相等与不等 ，直线与曲线，有限与无限等，有些运算也是成对出现，例如：家发与除法，乘法与除 法等等。每一对中都含有两个"对立的方面" 例如看到"-"联想到"+"，看到"log"联想到指数， 联想到微分运算等等。我们说数学符 号真真切切的体现了数学中许多情况，奇妙的是 数学中的"逆向"都可以由数学符号表现出来。数学符号比文字在此时更令人容易联想到 反面的内容。 总之，由于数学符号的美，简洁，方便，和谐，形象等等，更容易使 们联想到相关、相邻、相对的定义，攻势，基本的解体方法及某些科学知识。这有助于 形象、抽象数学思维的培养。 （四） 数学符号诱发数学灵感 直觉和灵感无论是在那一门学科中都是至关重要的。数学符号能暗示 息，刺激联想活动，有助于诱发灵感。在数学研究活动中对符号的观察能诱发灵感。许 多数学家都有一种感觉，从符号中得到的东西比输入的更多，他们好象比他们的创造者 更聪明。莱布尼兹援救乘法计算机原理时，很长时间没找到恰当的解决方法，后来他收 到一位法国传教士从中国寄给它的"八褂图"。它从图中符号得到启发，建立了二进制数 。另一方面，他用二进制数符号发现八卦图的秘密。也说明符号的力量。而且有些符号 似乎具有一种神奇的力量，能在其内部传播变革和创造的性发展的种子。 数学符号的美构成了数学美的魅力的一个重要方面，数学的魅力是数学发展的深层 驱动力。作为学数学或爱好数学的人，我们不仅惊叹于数学符号创立的奇妙，沉醉于数 学符号的美，而且应熟悉它们，并为数学符号的发展做出自己的贡献。 [ Last edited by mainpro on 2006-3-11 at 21:39 ] |
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