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bestsing

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[交流] 数学的符号美

数学的世界是一个符号的世界。数学语言"就像一座灯塔，照亮了自然的未被揭示
的秘密"。数学语言是由一些符号和记号组成的语言。因此"符号是交流与传播数学思想
的媒介"。下面我们就从不同的几个方面看看数学的符号美。
一，数学符号的发展
几百年前，代数与算数是没差别的。那时解一道数学题十分繁琐，全靠文字表述。例如
"+"，"-"这两种运算，必须写成plus 与minus。"="则写成aequalis，未知数则写成rad
ix。因此，如这样简单的一个方程，在十六世纪数学家的笔下是： qdratu aeqtar 4
rebus p:32。这样的表述只能解决具体的个别的问题，很难将问题抽象到一般形式加以
研究。因此数学家们开始采用文字系数并设计了各种代数符号。其过程大致分为五个阶
段：建立自然数和分数的符号体系，特别是引入位值制计数法及零的特殊符号；建立代
数的符号体系；与微积分学的产生向联系的符号的发展；集合论与数理逻辑符号在数学
中的发展和渗透；高速电子计算机的出现刺激了数学符号的新的发展。随着数学的发展
，数学符号也将不断发展。
二，数学符号美的几个方面
（一）简洁性
数学符号的见解形式数学家追求的主要目标。著名数学家付立叶在创立"付立叶级数"时
，也进行了相关简单性的考虑，正如他自己所说："没一个数学函数，无论多复杂，总可
表示为某些简单的基本函数之和。"
也真是数学符号简化了复杂的数学理论，且把远离的数学理论巧妙地联系起来。例如哈
密顿算子-一种重要的微分算子。
  由它作为工具，可导出一系列美妙的结论。
当它作用于数量场函数u(x,y,z)时，产生梯度  ，这是一个代表u在空间中最大变化率
的大小和方向的符号。
当它作用于向量场函数  是x、y、z的函数），有
这是一个"四元数"，其数量部分称为v的散度，向量部分称为v 的旋度。
若用哈密顿算子，v的散度，旋度又分别克表示为
十九世纪末，麦克思韦的电磁学方程组，其微分形式就是用哈密顿算子表示的，其简洁
与美妙自不待言。
拉普拉斯方程若用哈密顿算子表示也十分漂亮、利落。
如此看来，数学符号的简洁性对于数学本身和科学领域的其它学科是多
重要的。同时数学符号的简洁美令数学的美简单明了。
（二）方便性
数学符号的另一大特点就是它的方便性，正是数学符号的方便性决定了它持久的生命力
。数学符号一直不断地在方便性上逐步改进，不断完善它美的魅力。二进制的得宠就在
于它便于电子计算机的使用。首先二进制只需0和1两个数码就可表示一切数目。这对于
计算机来说是最为有利的，可以大大简化计算机的"运算器"。每一数位上的数字1和0最
适宜表示为电路中电信信号的存在和消失。如"1"表示电压脉搏冲的存在，"0"表示脉冲
的消失。这样，二进制的任何数就可以用排成一定顺序的脉冲表示。因此，只要找到一
种具有两种稳定状态的元体就可以使用二进制表示数了。这种元体是很多的。但用十进
制就要找到具有十种稳定状态的元体，这在技术上是困难的。再者，而今值得运算比较
简单，可以大大提高运算速度，这对于电子计算机来说是至关重要的。由此可看出，一
种符号的方便性有助于各方面的发展，而数学符号的方便性不仅给数学本身带来便捷，
而且也促进了其它科学的发展。
（三）和谐性
数学中许多数学概念的意义是随数学的发展而逐步丰富的，而一系列符号的相互和谐就
是概念的适用范围更广。"0！"是如何得来的？n是自然数时，"n！"表示从1开始的n个自
然数的乘积，即n！=
按这一规定n=0时，"0！"没意义，那该如何？看公式右边为了使公式仍成立，必须规
定0！=1，妙的是，符号0！=1的和谐性在更高层次中得到了保证，积分分部积分，得
重复使用
n=0是成立0！=1，由此可见，不同数学概念之间存在着内部的联系，而数学符号的和谐
性正体现了这种联系，这是一件多么令人惊讶的美！
三，数学符号美的作用
(一)数学符号的魅力推动数学发展
几百年来，由于某些数学符号、数学表达式具有神奇的诱惑力，成千上
的学者的奋斗不仅促进问题本身逐步解决，还推动了数学思想的发展，促进数学方法的
革新。譬如大家熟知的小小的字母e，e是数列的极限，即，该数列的发现与数的
发明有关。1727年欧拉用"e"表示极限。引入e后，对编制对数表有明显的效果。它的
另一显赫功劳是，帮助人们证明了  的超越性，从而彻底解决了"化圆为方"问题。在"化
圆为方"问题中涉及到  这样的几何量，要解决"化圆为方"问题，就需要对作定性研究
- 是不是超越数？1873年，法国数学家埃密特证明了e是超越数，1882年德国数学家林德
曼在埃密特证明e是超越数的基础上，借助欧拉公式证明了也是超越数（超越数：如果
不是任何正系数代数方程的根）。"化圆为方"问题就迎刃而解了。由解析几何知道，一
个几何图形可用尺规作出，必须且只需要其中所要作出的几何量可以又给定的几何量经
过有限词的四则运算和开方获得。因是超越数，不可能由r经由献词四则运算获得，故
用尺规作图不可能。。由于e的帮助，这二千多年的悬案才宣告了结。17世纪中叶在发现
了双曲线下的面积与自然对数之间的联系之后，人们逐渐了解到很多重要的函数、重要
的极限、微分与积分都与数e有着极为密切的关系。自然数的求导运算特别方便，所以在
理论研究时愿采用自然对数而不用常用对数。也正因此，e成了一特别重要的无理数。可
见许多如e这样的数所使用的符号，没有什么意义上的纸上符号，居然对生活的模样作出
世人所知的如此多的贡献。我们不能不惊叹于数学符号的魅力！
（二）数学符号刺激联想能力
1，数学符号能刺激大脑，由眼前的数学对象沿纵深方向到相关的对象。举世瞩目的哥
德巴赫猜想是怎样引起的？观察下面几个等式：
3+7=10，3+17=20，13+17=30，可见它们之间有类似之处：等式左边3，7，13，17都是奇
素数；右边10，20，30都是偶数；这几个偶数均可表示为两个奇素数之和。哥德巴赫是
从"几个偶数"联想到"一切偶数"。根据归纳法猜测：任何一个大于4的偶数都是两个奇素
数之和。也许，哥德巴赫自己也未曾意识到，如此简单的猜想竟会发展为"数学皇冠上的
明珠"。这同时说明，简单的数学符号与符号之间，符号与图形之间可能存在着某些更深
的联系，这就要求我们善于观察，萨胡发现符号之间的内在联系，进一步揭示隐含的秘
密。
2，数学符号能刺激大脑，由眼前的数学对象联想到邻近学科的相关对象。
"笛卡尔连接"就是源于代数与几何之间的横向联系。狭义的讲，"笛
尔连接"是指几何图形与代数方程之间的结合。广义的讲"笛卡尔
接"是指一切分析的、逻辑的、抽象概念与综合的、直观的、具体形象
之间的结合。例如看到ax+by+c=0联想到直线；，联想到
曲线在处连续可导等等。数学粗浅的说就是代数与几何两大分支，而
   且两者之间联系紧密，数学符号更鲜明的体现了这一点。表示代数式的
   一些符号，或代数方程的一些符号，有时同时也表示了一些几何意义。
   另外，我们也知道数学是其它许多学科的基础，就像某些微分方程在物
   理中就表示具体的意义等等。所以说，数学符号不仅代表了数学中的意
   思，而且也在其它学科中占有重要的地位。可以说，数学符号引起的联
   想也极为广阔。
3，数学符号能刺激大脑逆向联想。数学中有些概念是成对出现的，例如：相等与不等
，直线与曲线，有限与无限等，有些运算也是成对出现，例如：家发与除法，乘法与除
法等等。每一对中都含有两个"对立的方面"
例如看到"-"联想到"+"，看到"log"联想到指数，联想到微分运算等等。我们说数学符
号真真切切的体现了数学中许多情况，奇妙的是
数学中的"逆向"都可以由数学符号表现出来。数学符号比文字在此时更令人容易联想到
反面的内容。
总之，由于数学符号的美，简洁，方便，和谐，形象等等，更容易使
们联想到相关、相邻、相对的定义，攻势，基本的解体方法及某些科学知识。这有助于
形象、抽象数学思维的培养。
（四）数学符号诱发数学灵感
直觉和灵感无论是在那一门学科中都是至关重要的。数学符号能暗示

息，刺激联想活动，有助于诱发灵感。在数学研究活动中对符号的观察能诱发灵感。许
多数学家都有一种感觉，从符号中得到的东西比输入的更多，他们好象比他们的创造者
更聪明。莱布尼兹援救乘法计算机原理时，很长时间没找到恰当的解决方法，后来他收
到一位法国传教士从中国寄给它的"八褂图"。它从图中符号得到启发，建立了二进制数
。另一方面，他用二进制数符号发现八卦图的秘密。也说明符号的力量。而且有些符号
似乎具有一种神奇的力量，能在其内部传播变革和创造的性发展的种子。
   数学符号的美构成了数学美的魅力的一个重要方面，数学的魅力是数学发展的深层
驱动力。作为学数学或爱好数学的人，我们不仅惊叹于数学符号创立的奇妙，沉醉于数
学符号的美，而且应熟悉它们，并为数学符号的发展做出自己的贡献。

[ Last edited by mainpro on 2006-3-11 at 21:39 ]

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