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祖冲之对计量科学的贡献
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祖冲之对计量科学的贡献 祖冲之（429－500）是我国南北朝时期的著名科学家，在中国科学史上享有崇高地位。在今天的人们看来，他推算出了高精度的圆周率，使之领先世界一千多年，是一位享誉世界的大数学家；他提出了《大明历》，内含多项创新，是一位杰出的天文学家；他成功复原了指南车，使古代绝技失而复得，是一位优秀的机械发明家；……。对祖冲之的这些评价，是完全正确的，但还不够全面，因为他为今人所称道的那些成就，主要是围绕着计量科学的发展而做出的。他首先是一位杰出的计量学家，对中国古代计量科学的发展做出了巨大贡献。与此同时，在他的计量科学工作中，也有个别不严谨之处。 一．对测量精度和尺度标准的重视 祖冲之一生的科学工作，大都与计量有关。他有着丰富的计量实践。在给宋孝武帝所上请求颁行《大明历》的表中，他曾经提到，在治历实践中，他常常“亲量圭尺，躬察仪漏，目尽毫厘，心穷筹策”[1] ，自己动手进行测量和推算。测量离不开择定基准、核对尺度，测量本身不可避免还会涉及精度问题，这都与计量有关。对这些问题的重视，使他很自然地步入了计量领域。 精度问题是促进计量进步的重要因素，祖冲之对之十分重视。他曾经指出：“数各有分，分之为体，非细不密。”[2] 所谓“细”，即是指测量数据的精度要高，他认为，只有高精度的测量，才能使测量结果与实际密合。他不但在理论上高度重视精度问题，而且在实践中，也身体力行，努力追求尽可能高的测量精度。他自称在测量和处理各类数据时的指导思想是“深惜毫厘，以全求妙之准；不辞积累，以成永定之制。”（引文出处同注〔2〕）。他在测量实践中的“目尽毫厘”，在推算圆周率时精确到小数点后7位，就是其重视精度的具体表现。正是这种重视，使他在计量科学领域做出了令人景仰的成就。 在对计量基准的择定方面，祖冲之首先值得一提的工作是他对前代计量标准器的保存和传递。他的这一事迹与西晋荀勖考订音律的成果有关。 荀勖考订音律的事情发生在西晋初期。晋朝立国之后，在礼乐方面沿用的是曹魏时期杜夔所定的音律制度。但是，杜夔所定的音律并不准确，晋武帝泰始九年（公元273年），荀勖在考校音乐时，发现了这一问题，于是受武帝指派，做了考订音律的工作，制订了新的尺度。《晋书•律历志上》对此有简要记载： 起度之正，《汉志》言之详矣。武帝泰始九年,中书监荀勖校太乐，八音不和，始知后汉至魏，尺长于古四分有余。勖乃部著作郎刘恭依《周礼》制尺，所谓古尺也。依古尺更铸铜律吕，以调声韵。以尺量古器，与本铭尺寸无差。又，汲郡盗发六国时魏襄王冢，得古周时玉律及钟、磬，与新律声韵闇同。于时郡国或得汉时故钟，吹律命之皆应。 荀勖通过考订音律，制作了新的标准尺，并对之做了一系列的测试。测试结果表明，他的新尺符合古制，制作是成功的。 荀勖律尺的制作成功，在当时影响很大，著名学者裴頠就曾上言：既然荀勖新尺已经证明当时流行的尺度过大，就应该对度量衡制度加以改革，或至少对医用权衡进行改革： 荀勖之修律度也，检得古尺短世所用四分有余。頠上言：“宜改诸度量。若未能悉革，可先改太医权衡。此若差违，遂失神农、岐伯之正。药物轻重，分两乖互，所可伤夭，为害尤深。”卒不能用。[3] 裴頠的建议未被采纳，荀勖律尺就只能限于宫廷内部，考订音律时使用。 中国古代在制订度量衡制度时，有一个传统，就是首先要考订古制。荀勖律尺是经历三国时期度量衡混乱之后，人们用“科学”方法考订出来的第一个标准尺，因此深受后人重视，《晋书》把它放在“审度”栏目之下，紧接着“起度之正”加以叙述，就表明了这一点。从这个意义上说，荀勖律尺是后人制订度量衡制度的圭臬。而这样的圭臬，被祖冲之设法搜罗到并传递下去了。 祖冲之是如何保存并传递荀勖律尺的，我们一无所知。导致我们做出这一判断的，是唐代李淳风在考订历代尺度时，对“祖冲之所传铜尺”的记载： 祖冲之所传铜尺。 ……梁武《钟律纬》云：“祖冲之所传铜尺，其铭曰：‘晋泰始十年,中书考古器，揆校今尺，长四分半。所校古法有七品：一曰姑洗玉律，二曰小吕玉律，三曰西京铜望臬，四曰金错望臬，五曰铜斛，六曰古钱，七曰建武铜尺。姑洗微强，西京望臬微弱，其余与此尺同。’铭八十二字。”此尺者，勖新尺也。今尺者，杜夔尺也。雷次宗、何胤之二人作《钟律图》，所载荀勖校量古尺文，与此铭同。而萧吉《乐谱》，谓为梁朝所考七品，谬也。今以此尺为本，以校诸代尺云。 [4] 引文中省略的部分是《晋书》对荀勖制订律尺过程的介绍。通过对祖冲之所传铜尺上的铭文的研读，李淳风断定它就是荀勖所发明的律尺，并以之为标准，对前代诸多尺度做了校核。就铭文而言，该尺是荀勖律尺，断无可疑，但该尺是否为祖冲之所传呢？李淳风的依据是梁武帝《钟律纬》的记载。梁朝上承南齐，祖冲之晚年是南齐重臣，他去世两年而梁武帝即位，所以梁武帝对他的记述应该是可靠的，该尺应该确实是祖冲之所传。 祖冲之能搜罗到荀勖律尺，殊为不易。因为荀勖律尺只是用来调音律，并未用于民间，不可能在社会上流传，一般人是难以觅其踪迹的。而在宫廷中保存，也同样难逃厄运。西晋末年，战乱大起，京城洛阳被石勒占领，晋朝皇室匆忙南迁，各种礼器，尽归石勒，以至于东晋立国之时，礼乐用器一无所有。这种状况，直到东晋末年，也未得到彻底改善。对此，《隋书•律历志上》记载道： 至泰始十年，光禄大夫荀勖，奏造新度，更铸律吕。元康中，勖子籓复嗣其事。未及成功，属永嘉之乱，中朝典章，咸没于石勒。及帝南迁，皇度草昧，礼容乐器，扫地皆尽。虽稍加采掇，而多所沦胥，终于恭、安，竟不能备。 在这种情况下，荀勖律尺的命运，也不会好到哪里去。而从西晋灭亡到祖冲之的时代，时间又过去了100多年，由此，祖冲之要搜寻到荀勖律尺，难度可想而知。但祖冲之最终还是找到了该尺，并把它传给了后人，这样，李淳风才能以之为据考订历代尺度。这件事情本身表明，祖冲之对尺度的标准器问题是非常重视的。 二．对新莽嘉量的研究 祖冲之不但注意搜集和保存前代的标准尺，而且还注重对前代度量衡标准器的研究。在祖冲之之前，中国历史上有两件标准量器最为著名，一件是战国时的栗氏量，一件是西汉末年的新莽嘉量，祖冲之对它们都做了研究，并取得了令人景仰的成就。本节我们先说祖冲之对新莽嘉量的研究。 新莽嘉量是刘歆设计制作的。祖冲之在探究新莽嘉量的过程中，求得了精确度高达小数点后7位的圆周率值，并以之为据，指出了刘歆设计的粗疏之处，从而把中国计量科学推进到了一个新的高度。 西汉末年，王莽秉政，为了满足其托古改制的政治需要，他委派以刘歆为首的一批音律学家，进行了一次大规模的度量衡制度改革。这次改革的成果之一是制作了一批度量衡标准器，新莽嘉量就是其中之一。新莽嘉量是一个五量合一的标准量器，其主体是斛量，另外还有斗、升、龠、合诸量。在嘉量的五个单位量器上，每一个都刻有铭文，详细记载了该量的形制、规格、容积以及与它量之换算关系，例如斛量上的铭文是： 律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，冥百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。 此处冥同冪，表示面积。铭文反映了刘歆的设计思想。按照当时的规定（即《九章算术》所谓的粟米法），1斛等于10斗，容1620立方寸，因此，在深1尺的前提下，要确保斛的容积为1620立方寸，必须其内圆的截面积为162平方寸，即刘歆所谓之“冥百六十二寸”。也就是说，圆的面积是确定了的，需要解决的，是其直径的大小。当时，人们是用圆内接正方形来规定圆的大小的，即所谓“方尺而圆其外”，但在内接正方形边长为1尺的情况下，圆面积不足162平方寸，所以需要在其对角线两端加上一段距离，这段距离就叫“庣旁”，如下图所示。 根据刘歆的设计思想，嘉量斛的容积可以表示为： 1斛＝π( ∕2＋庣旁)2×1＝1.62（尺3） 可见，在嘉量的设计过程中，圆周率π是一个举足轻重的因素，它决定了“庣旁”的大小，而“庣旁”则决定了斛的设计精度。刘歆最后得出的“庣旁”为9厘5毫，根据这一数字，可以倒推出他使用的π值是3.1547。考虑到当时通用的圆周率值是周三径一，刘歆的设计已经走在了时代的前面。 因为圆周率π在嘉量设计中具有举足轻重的作用，后人在研究刘歆的设计时，就不能不将注意力放在圆周率上。祖冲之即是如此。为了考证新莽嘉量的设计是否科学，祖冲之运用刘徽发明的割圆术，经过繁杂的运算，得到了3.1415926＜π＜3.1415927这样的结果，从而使得中国数学在圆周率推算方面，取得了远远领先于欧洲数学的成就。祖冲之为今人所景仰，主要也是出于他的这一数学发展史上里程碑式的成就。祖冲之对圆周率的研究，人们已经耳熟能详，这里不再赘述。 需要指出的是，祖冲之推算圆周率的目的，是为了考校刘歆的设计是否精确，也就是说，是着眼于计量科学的发展的。这是他在计量科学研究中所获得的数学成果。在他的时代，人们为纯数学而研究数学的思想并不强，当时人们研究圆周率，有两种传统，一种是为了解决天文学问题，一种是为了解决实际的计量问题。张衡、王蕃、皮延宗等代表的是前一种传统，而刘歆、刘徽、祖冲之等则代表了后一种传统。特别是祖冲之，他求得了精确的圆周率值以后，接着就用新的圆周率值，对刘歆的数据做了校验。这件事本身就表明了他推算精确的圆周率值的目的。 关于祖冲之对新莽嘉量的校验结果，《隋书•律历志上》有所记载： 其斛铭曰：“律嘉量斛，方尺而圆其外，庣旁九厘五毫，冪百六十二寸，深尺，积千六百二十寸，容十斗。”祖冲之以圆率考之，此斛当径一尺四寸三分六厘一毫九秒二忽，庣旁一分九毫有奇。刘歆庣旁少一厘四毫有奇，歆数术不精之所致也。 “其斛”，指的就是新莽嘉量。祖冲之以他推算的圆周率值来检验刘歆的设计，发现刘歆的“庣旁”不够精确，少了1厘4毫。祖冲之的推算结果可以从上述式子中得出，以祖率π＝3.1415926代入上式，则有 1斛＝3.1415926×( ∕2＋庣旁)2×1＝1.62（尺3） 从这个式子中解出的庣旁值为0.01098933尺，即“一分九毫有奇”，将此值与刘歆的结果9厘5毫相比，刘歆的庣旁值确实少了“一厘四毫有奇”。所以，《隋书•律历志》的作者李淳风指出，之所以如此，是刘歆“数术不精之所致也”。这种“不精”，主要就表现在其圆周率值不够精确。在祖冲之之前，刘徽曾以他推算出的π＝3.14的圆周率值计算过嘉量斛的直径，但他未提及庣旁，而且计算精度也不及祖冲之。祖冲之是历史上第一个明确指出刘歆庣旁的误差的人。 应该指出，1厘4毫的差距，确实很小。当时的测量精度，很难达到毫的量级。正因为如此，这一结果的取得，是计量科学得到充分发展的标志。高精度圆周率值的发现，是当时计量科学发展在数学科学领域取得的重大成果。 |
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三．对栗氏量的探讨 相比于对新莽嘉量的研究，祖冲之对栗氏量的探讨别具一格。关于栗氏量的原始记载见于文献《考工记•栗氏为量》条，原文为： 栗氏为量，……鬴深尺，内方尺而圆其外，其实一鬴；其臀一寸，其实一豆；其耳三寸，其实一升。重一钧。其声中黄钟。 引文中提到的鬴、豆、升是三种容量单位。栗氏量在提供这些单位的实物大小的同时，还规定了其相应尺寸，这就使得人们有可能通过这些尺寸，推算出其具体容积来。汉代郑玄就做过这种推算，他说：“四升曰豆，四豆曰区，四区曰鬴，鬴六斗四升也。鬴十则钟。方尺积千寸。于今粟米法少二升八十一分升之二十二。”[5]郑玄推出1鬴等于6斗4升，依据的是《左传》的记载：“齐旧四量，豆区釜钟，四升为豆，各自其四，以登于釜，釜十则钟。[6]” 这里“釜”同“鬴”，是同量异名[7]。《左传》给出的这几种单位的换算关系是： 1钟＝10鬴； 1鬴＝4区； 1区＝4豆； 1豆＝4升 如果栗氏量遵循《左传》中所言的进位制，则其1鬴应等于64升，即6斗4升。接下去，郑玄按照鬴的容积为1立方尺进行计算，得出1鬴等于1000立方寸的结论，认为它比按照《九章算术》“粟米法”的运算结果少了2又81分之22升。 郑玄的推算给人们提出了一个严峻的话题：栗氏量的单位量制比汉代的要小。在谈论量器的容积时，中国古代有一个优良传统，叫做“用度数审其容”[8]，即用长度单位规定出量器单位的大小来。当时斗的单位量制是1斗等于162立方寸。从战国时遗留至今的商鞅方升上的铭文“积十六尊（寸）五分尊（寸）壹为升”，到《九章算术》的“粟米法”，再到新莽嘉量斛铭上的“积千六百二十寸”，都昭示着这样的单位量制。该量制是当时人们的共识，并被公认为它就是所谓的古周制。而按照郑玄的推算，6.4斗合1000立方寸，即栗氏量的1斗合156.25立方寸。这与公认的斗的量制显然是不同的。我们知道，刘歆制作嘉量时，模仿的是栗氏量的结构和形制，正如励乃骥先生所言，“刘歆作量，仿乎周制，故其铭辞，多引《周礼》，如‘嘉量’、‘方尺而圆其外’，‘深尺’等语，即引《考工记》之文。[9]” 嘉量斗的量制是1斗等于162立方寸，刘歆嘉量以栗氏量为蓝本，郑玄推算的同样也是栗氏量，他们得出的单位量制居然不同，这是说不过去的。 实际上，郑玄在这里犯了两个错误。一个是他误解了栗氏量的形制。《考工记》中说的“内方尺而圆其外”，不是说栗氏量的形状内方外圆，而是说该量器口径正好容纳下一个边长为1尺的正方形。即是说，鬴的形状是圆桶形的。郑玄把它当成一个边长为1尺的正方体容器去计算，焉能不出错。 郑玄的第二个错误是：他还误解了栗氏量的单位进制。按照郑玄的解释，栗氏量1鬴等于6斗4升，而刘歆的嘉量则1斛等于10斗，这样，二者又出现了矛盾。在这里，郑玄依据的是《左传》的记载，而实际上，《左传》中说的是“齐旧四量”，它是否适用于栗氏量，尚需再加考证。关于栗氏量的单位进制问题，陈梦家提出了一种新的解释，他说：“《考工记》之嘉量，其主体之鬴，深、径各一尺，鬴下圈足内（即谓臀）深一寸，径仍一尺，则豆为鬴十分之一。如此，豆、升皆为十进制。” 陈梦家的“径一尺”的说法，不够准确，但他提出的鬴、豆、升各为十进制的见解，则不无道理，丘光明等对陈梦家的观点评价道：“这种看法是很有见地的。齐国四进制的‘公量’，最早见于春秋，时至战国，逐渐被田齐家量所取代，并且已证明多用升、斗、釜十进制。《考工记》成书于战国后期，不会再用四进之豆、区制。而栗氏量中之豆，实当为斗。[10]” 换句话说，栗氏量中的鬴容10斗，与后世的斛是一样的。 在历史上，郑玄的这两个错误，在祖冲之那里得到了明确的纠正。《隋书•律历志上》记载说，对栗氏量， 祖冲之以算术考之，积凡一千五百六十二寸半。方尺而圆其外，减傍一厘八毫，共径一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇而深尺，即古斛之制也。 祖冲之的算法可用公式表述如下： 1鬴＝π(14.10472∕2)2×10＝1562.5（寸3） 这一算法，只对圆柱体成立，因此，它纠正了郑玄的第一个错误。引文中的“即古斛之制也”，更明确指出这是容十斗之“古斛”，这样，它又纠正了郑玄的第二个错误。 需要指出的是，祖冲之的上述推算也有瑕疵。他在推算鬴的直径时，采用了“减傍一厘八毫”的做法，这种做法依据不足。栗氏量明确规定其口径为“内方尺”，即恰能容下一个边长为1尺的正方形，原文并没有提到“傍”的存在。“庣旁”是刘歆设计嘉量时的发明，刘歆之前不存在类似的概念。祖冲之的“减傍”，于理于原文皆无所据。 实际上，在祖冲之之前，刘徽在研究栗氏量时，已经引入了“庣旁”的概念，他在检验栗氏量的数字关系时提出： 以数相乘之，则斛之制：方一尺而圆其外，庣旁一厘七毫，幂一百五十六寸四分寸之一，深一尺，积一千五百六十二寸半，容十斗。 [11] 根据刘徽给出的数字关系，可以看出他是按下述式子进行运算的： 1斛＝π( ∕2－0.017)2×10≈1562.5（寸3） 与刘歆设计新莽嘉量不同的是，刘徽把“庣旁”由正变成了负。祖冲之继承了刘徽的做法，只不过他的圆周率值比刘徽的π＝3.14要稍微大一点，所以他把“庣旁”也做了相应增加，由1厘7毫变成了1厘8毫。至于刘徽祖冲之为什么要对栗氏量引入“庣旁”概念，我们不得而知，也许这是他们为了得到与郑玄的1斗合156.25立方寸相同的结果而采取的凑数措施。实际上，在当时，1斛等于1620立方寸的所谓的古周制已深入人心，郑玄的推算于史无据，前提是错的，他们没必要去迎合郑玄的单位进制。 祖冲之的推算还有另外一个疏忽。按“正方尺而圆其外”再“减傍一厘八毫”的方式进行计算，得到的结果应该是“径一尺四寸一分六毫一秒三忽有奇”，而不是“一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”。运算过程如下式所示： 斛径＝ －2×0.0018＝1.4106135（尺） 要得到祖冲之所说的“径一尺四寸一分四毫七秒二忽有奇”的结果，应该“减傍一厘八毫七秒有奇”，[12]而不是“减傍一厘八毫”。所以，这是祖冲之在数字表示上的疏忽。祖冲之之所以会出现这样的疏忽，大概是因为古人不具备现代的有效数字概念，记数时不运用四舍五入法则，而他在对“庣旁”的表示上又只取了两位有效数字的缘故。但无论如何，这种疏忽的出现都是不应该的：他既然在推算栗氏量的直径时，可以精确到7位有效数字；在指出刘歆“庣旁”的精度时，不忘在“毫”之后加上“有奇”二字，那么，在为栗氏量设计“庣旁”时，他为什么就不肯在“毫”之后多记上一两位有效数字，从而使一组数据之间的精度大致保持一致呢？ 四．对时间和空间计量的贡献 祖冲之在时间计量方面也做了大量工作。 在对基本时间单位回归年长度的测定方面，祖冲之改进了传统的测定方法，从而使新的历法在回归年长度上更为准确。过去人们测定回归年长度，通常是在预期的冬至前后几天，用立竿测影的方法，测出影子最长的那一天作为冬至，相邻两个冬至之间的时间长度，就是一个回归年。这种方法在理论和实践上都存在一些问题，而且还容易受到冬至前后气候变化影响，有一定误差。祖冲之对之做了巧妙的改革，提出了一种具有比较严格的数学意义的测定冬至时刻的方法：他选择冬至前若干天和冬至后若干天分别测量正午时分的影长，通过比较影长变化，运用对称原理推算出冬至的准确时刻。他的方法是对传统回归年测定方法的重大突破，有很高的理论意义和实用价值。他运用这一方法，测得了更为精确的回归年数值，并将其写进了自己编制的《大明历》中。按《大明历》的数据，他测得的回归年长度是365.2428日。这个数值要过700多年才被后人所突破。 [13] 另外，祖冲之还对闰周做了修改。我国古代历法是阴阳历，需要通过安置闰月来调整朔望月和回归年之间的关系。传统上人们采用19年7闰的方法来解决这一问题，但这一闰周比较粗疏，大约200多年就要多出一天，祖冲之经过反复测算，提出每391年中置144个闰月的主张。他的这一主张跟现代测量值比较只差万分之六日，即一年只相差52秒，这是相当精密的。 由于回归年日数和闰周数据都比较精密，祖冲之《大明历》在另一自然时间单位——朔望月长度的推定方面，也取得了非常好的结果。他的朔望月长度为29.5305915日，与今测值相比误差仅为0.00000560日，每月仅长0.5秒。祖冲之以后，直到宋代《明天历》、《奉元历》、《纪元历》等历法中，才有更好的朔望月数据出现。 [14] 除了对回归年、朔望月这两个时间单位进行改革，祖冲之还对古代另一个重要计时单位——刻及计时仪器漏刻做了探究，其探究成果表现在他和儿子祖暅之合著的著作《漏经》一书中。《南史•沈洙传》曾提到《漏经》这本书： 洙曰：夜中测立，缓急易欺，兼用昼漏，于事为允。但漏刻赊促，今古不同。《汉书•律历》、何承天、祖冲之祖暅之父子《漏经》，并自关鼓至下鼓、自晡鼓至关鼓，皆十三刻，冬夏四时不异。若其日有长短，分在中时前后。 《漏经》一书已经失传，其具体内容我们不得而知。从沈洙的引述中可知，该书至少探讨了时刻制度安排问题，而且其探讨被当时人作为讨论时刻制度的依据而加以引用，这是没有疑义的。 在空间方位计量方面，祖冲之也颇有可称道之处：他成功地研制出了指南车，为中国计量史留下了一段佳话。刘宋王朝的奠基人是后来被追封为武帝的刘裕，刘裕当年平定关中后秦政权时，得到了后秦政权的一辆指南车，该车虽然具有指南车的形状，但设计却不够精巧，以至于每当车子随仪仗队出行时，就得有一个人藏在车内，依靠人的转动使车上木人的手臂指向南方。祖冲之对该车早有所知，多次提出应该对之加以改造。后来，萧道成把持刘宋王朝朝政，把改造这部车子的任务交给了祖冲之。祖冲之经过精心推敲和反复测试，成功地设计和安装了其内部机械装置，使得该车“圆转不穷而司方如一”，具备了自动指南的功能。当时，北方有个叫索驭驎的，号称自己也能造指南车，萧道成就让他和祖冲之各造一辆，公开比试，比试的结果，祖冲之的得到了大家的一致认可，而索驭驎所造则“颇有差僻，乃毁焚之。” [15] 祖冲之还有其他一些工作，也与计量科学的发展有很大关系，限于篇幅，这里不再多说。总而言之，祖冲之对古代中国计量科学的发展做出了很大贡献，对计量问题的关注，也促成了他在数学等其他相关学科的成就，这是没有疑义的。 |
2楼2006-03-11 12:16:44