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数学经典问题·几何的三大问题
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平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线 的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边 形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之 中最有名的就是所谓的三大问题。 几何三大问题是 : 1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 2.三等分任意角； 3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知 圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积 为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不 难， 但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽 正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆 周角为360。/18=20。）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引 起 来的。 第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神 话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边 长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆 规经有限步骤可解决的。 1637年笛卡儿创建解析几何以後，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。 1837 年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。1882年 林得曼（Linderman）也证明了π的超越性（即π不为任何整数系数多次式的根） ， 化圆为方的不可能性也得以确立。 |
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