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小木虫论坛-学术科研互动平台 » 专业学科区 » 数学 » 基础数学 » 【讨论】完备性
北京石油化工学院2026年研究生招生接收调剂公告
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ghw_nit

版主

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！

[交流] 【讨论】完备性

赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间，完备性的意义是什么，有人能给个形象的解释么？

[ Last edited by 小雨萌萌 on 2010-4-19 at 15:55 ]
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1楼 2010-04-19 15:19:51
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nest代数

专家顾问

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
★
bluesine(金币+1):谢谢交流@ 2010-04-20 17:14
所谓要一个空间完备简单说就是要使我们用极限思想来研究的东西还在我们讨论的范围内而不至于跑到事先给的大范围外面。
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7楼2010-04-20 17:11:49
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bluesine

主管区长

科苑小木虫

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
★ ★ ★ ★
小木虫(金币+0.5):恭喜抢沙发，给个红包
小雨萌萌(金币+3):谢谢回帖交流，辛苦了 2010-04-19 15:53
完备空间或者完备度量空间是具有下述性质的空间：空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。

例子
有理数空间不是完备的，因为的有限位小数表示是一个柯西序列，但是其极限不在有理数空间内。
实数空间是完备的
开区间(0,1)不是完备的。序列(1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...)是柯西序列但其不收敛到任何(0, 1)中的点。
令S为任一集合，SN为S中的所有序列，定义SN上序列(xn)和(yn)的距离为1/N，其中若的最小索引存在则N为该索引否则N为0。按此方式定义的度量空间是完备的。该空间同胚于离散空间S的可数个副本的积。

直观理解
直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的。


相关定理
任一紧致度量空间都是完备的。实际上，一个度量空间是紧致的当且仅当该空间是完备且完全有界的。
完备空间的任一子空间是完备的当且仅当它是一个闭子集。
若X为一集合，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的有界函数f的集合B(X, M)是一个完备度量空间，其中集合B(X, M)中的距离定义为：

若X为一拓扑空间，M是一个完备度量空间，则所有从X映射到M的连续有界函数f的集合Cb(X,M)是B(X, M)（按上一条目的定义）中的闭子集，因而也是完备的。
贝尔纲定理：任一完备度量空间为一贝尔空间。就是说，该空间的可数个无处稠密子集的并集无内点。

完备化

定义
对任一度量空间M，我们可以构造相应的完备度量空间M' （或者表示为），使得原度量空间成为新的完备度量空间的稠密子空间。M' 具备以下普适性质：若N为任一完备度量空间，f为任一从M到N的一致连续函数，则存在唯一的从M' 到N的一致连续函数f' 使得该函数为f的扩展。新构造的完备度量空间M' 在等距同构意义下由该性质所唯一决定，称为M的完备化空间。

以上定义是基于M是M'的稠密子空间的概念。我们还可以将完备化空间定义为包含M的最小完备度量空间。可以证明，这样定义的完备化空间存在，唯一（在等距同构意义下），且与上述定义等价。

对于交换环及于其上的模，同样可以定义相对于一个理想的完备性及完备化。详见条目完备化 (环论)。

构造
类似于从有理数域出发定义无理数的方法，我们可以通过柯西序列给原空间添加元素使其完备。

对M中的任意两个柯西序列x=(xn) 和 y=(yn)，我们可以定义它们间的距离： d(x,y) = limn d(xn,yn)（实数域完备所以该极限存在）。按此方式定义的度量还只是伪度量，这是因为不同的柯西序列均可收敛到0。但我们可以象很多情况中所做的一样（比如从Lp到），将新的度量空间定义为所有柯西序列的集合上的等价类的集合，其中等价类是基于距离为0的关系（易于验证该关系是等价关系）。这样，令ξx = {y 是M上的柯西序列：}，M' ={ξx：x ∈ M}，原空间M就以xξx的映射方式嵌入到新的完备度量空间M' 中。易于验证，M等距同构于M' 的稠密子空间。

康托法构造实数是该完备化方法的一个特例：实数域是有理数域作为以通常的差的绝对值为距离的度量空间的完备化空间。

性质
康托尔的实数建构是上述构造的特例；此时实数集可表为有理数集对绝对值的完备化。倘若在有理数集上另取其它的绝对值，得到的完备空间则为p进数。

若将上述流程施于赋范向量空间，可得到一个巴拿赫空间，原空间是其中的稠密子空间。若施于一个内积空间，得到的则是希尔伯特空间，原空间依然是其稠密子空间。


from:wilki
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板凳要做十年冷文章不发一个字
2楼2010-04-19 15:46:40
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scuxchen

专家顾问

优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！优秀！！有木有！！！
★
小木虫(金币+0.2):抢了个小板凳，给个红包
沙发上那人太猛了！
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拳打脚踢
3楼2010-04-19 16:14:38
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ghw_nit

超级版主

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javeey(金币+1):你的理解很直观 2010-04-19 19:31
bluesine:参考上面有理数例子就可以了，O(∩_∩)O~ 2010-04-19 20:43
谢谢，谢谢bluesine的解答，不过我只能理解“直观上讲，一个空间完备就是指“没有孔”且“不缺皮”，两者都是某种“不缺点”。没有孔是指内部不缺点，不缺皮是指边界上不缺点。从这一点上讲，一个空间完备同一个集合的闭包是类似的。这一类似还体现在以下定理中：完备空间的闭子集是完备的”，其他的的部分有引出了很多我不知道的概念了。紧致度量空间？？？稠密子空间？？交换环？？水平实在是有限了，呵呵，大家不要见笑呀，看来要修炼的东西还有好多呢
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4楼2010-04-19 19:16:44
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