[交流] 【转载】Matlab求解线性方程组、非线性方程组 已有3人参与

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
diff(F); %matlab区分大小写
pretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式
非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
...为续行符
m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
mm。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
3
x1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
1.0000
2.0000
1.0000
A*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
-0.0888
-0.1332
0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
-0.0000
0
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
0
-0.0000
0.0000
1.0000
四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\b
x1=
-0.3569
0.5744
0.7846
A*X-b
ans=
1.1258
0.1437
-0.1616
A*x1-b
ans=
1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0