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sunices

木虫 (初入文坛)

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[交流] 【求助】欧式距离在很高维空间是否有维数灾难问题(太重要了)

我们知道维数灾难（Curse of Dimensionality）是说由于维数增加使得空间体积指数级增长所引起的问题。一个方法的性能如果受空间体积指数级增长的影响，则发生维数灾难。例如估计密度函数的邻域法，当维数较高时，在大部分邻域内是没有样本的，从而邻域法取不到样本。
（1）对于计算空间中两个点之间距离的欧式距离公式，其计算的欧式距离在很高维空间是否有维数灾难问题？
（2）当维数很高时，是否欧式距离测度将使得任两点间的距离趋向相等？
此问题的重要性在于，广泛使用的欧式距离在高维空间若有维数灾难问题，那么现有的与欧式距离有关的大部分方法将在高维空间失效，不能使用！例如在做高维数据的聚类时就碰到这个问题，若此问题成立，则基于欧式距离的聚类方法都不能使用！
那么如何分析这个问题？有什么可参考的文章？

请大家指点！

看了大家的回复，这里举个例子以更好地说明：
数据(1,0)和(0,1)是2维的，放在平面上就是2个点，可以计算这2个点之间的欧式距离为根号2；数据(1,0,1)和(0,1,0)是3维的，可在3维空间中表示这2个点，可以计算这2个点之间的欧式距离为根号3；这种低维情况没有维数灾难问题。那么，若数据(1,0,1,0,1,0,...)和(0,1,0,1,0,1,...)是例如1万或1亿维的（生物学中的基因表达数据就有上万维的数据），就要考虑是否有维数灾难问题。此时，就需要知道上述（1）和（2）的问题是否成立。

[ Last edited by sunices on 2010-4-1 at 08:39 ]

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1楼 2010-03-27 10:08:45

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Pchief

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sunices(金币+1):谢谢参与
sunices(金币+2):借鉴了: 维数 n 会出现在这些量的指数位置，指数的爆炸式增长是没有东西能够对付的。 2010-05-30 17:13:36

楼主对问题的提法不够明确，按我的理解，好比说一个单位方体，它的相距最远的两个顶点的欧氏距离是维数 n 的平方根，我觉得这个增长速度还算可以，一个三万维方体的直径也不过是一个三维方体的一百倍而已（假定边长相同）。

当然对于象体积一类的几何量那就不行了，维数 n 会出现在这些量的指数位置，指数的爆炸式增长是没有东西能够对付的。

[ Last edited by Pchief on 2010-3-30 at 20:16 ]