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[交流] [转贴]结合我的数学学习经历谈 how, why and crteation

[转贴]结合我的数学学习经历谈 how, why and crteation [源于博士家园]
mathworker

数学学习方法
你好！和你一样，我也是一年级的博士生，所以谈不上“讨教”。每个人的未来都需要自己去规划。我的一些经验不一定适合你。我认为学习数学必须有一个好的基础，否则就难以进行进一步的学习。我大一时读了王元写的《华罗庚传》，对这位众所周知的传奇人物十分敬仰。对伟大人物的崇拜和数学的抽象性使我觉得数学非常的神秘。我困惑于这种神秘，想要了解它。像每一个学生一样，我按部就班的学习数学。两年的时间过去后，我十分清楚自己什么都没学懂。极限对我来说是一个模模糊糊的概念，我不知道连续是什么，我知道微分积分的法则，但它们究竟是什么呢？我头脑里积存了太多的问题，却无法解答。我甚至不相信自己有能力解答。我觉得数学是神秘的，我只能窥视它而不能了解它。我读数学人物传记，读数学史。我没法完全读懂它们，但我喜欢读它们，因为读它们比读教材容易。我觉得只有读它们才能触及到数学的灵魂，才能了解数学。我似乎对数学兴趣十足，但读教材又真正令我头疼。我读不懂数学证明，我解不出数学题。我没法相信自己能够掌握数学。现在回想起过去的这样一段经历，我能做什么解释呢？它说明我不够聪明，还是太过聪明？前者容易理解，后者呢？在上大学前，我便对自己的抽象思维能力颇为欣赏，我相信我有超越常人的洞察力。也许当时我意识到自己不懂，恰说明我比别人懂。而“别人”是什么人呢？“别人”是一点也不懂数学的人。现在数学系的学生百分之九十以上甚至谈不上了解数学，更何况懂呢？大三以前我不懂数学，但在某种意义上讲我了解了数学。学习数学的层次可以划分为“how”和“why”。工科生学数学是在“how”的层次上；数学系的学生应该到“why”的层次上。先知道“how”然后明白“why”这符合人的认知规律，绝大多数人都是知道了“how”便觉得懂了，我却一直在问“why”。现在学校的数学教育实在不能入目，课堂上的教学顶多到“how”，至于“why”好多讲课的老师都不知道还要问“why”，更不用说“know why”。实际上，即便老师知道“why”，在课堂上讲了“why”，一般学生也不能“understand why”。这是数学学习的一个特点，不经过自己思考的东西是不能够充分理解的。不经过思考型的自学便不能到“know why”的层次。大三以后，我花了很长的时间重读数学分析和高等代数，逐字逐句地读，咬文嚼字地读，在阅读中把头脑中积累下来的那些“why”扫除干净。通读一次之后，对数学的认识大大提高。但是又有新的“why”冒出来，于是返回头再去解决它。就这样我把分析学的主干课程全部重学一遍。我现在的数学基础差不多就是这样奠定下来的。我的学习过程有一个很大的缺陷，就是因为急着要看更多的书而不去做题。好在我头脑中有很多“why”相对弥补了一些不足。现在我想返回头来做题，但是时间不允许这样做。因为博士生“know why”是不够的，要“learn to creation and begin to do mathematics”。上面大致谈了我学习数学的经历，希望能对你有所启发。博士阶段最重要的还是写论文。写论文之前首先要读论文。读论文是博士阶段学习的主要手段。没有好的数学基础很难写出论文或高水平的论文。如果数学基础不够的话，返回头来补是必要的。

我整个硕士阶段有三分之二的时间在补基础，在重学本科知识，新东西学得很少。当时也想学新东西，只是不把基础补起来新东西根本就看不懂，看多少遍都看不懂。这得感谢导师对我的支持。他认为硕士阶段就是打基础，很难做什么东西。他也不管我具体在做什么，给我很大的自由。现在我学新东西速度还算快。以前对华罗庚说的“熟能生巧、勤能补拙”总有些怀疑，现在才体会到的确如此。现在有人说我很聪明，我相信这份“聪明”来自苦功夫。
我是在工科院校学的数学。这对于一个以数学为事业的人来说是个不幸。我本科的课程有一半是计算机课程。数学考试也很简单，检测不出一个人的真实水平。那样的考试拿一百分和六十分我觉得在实际水平上都没什么差别，反正过一段时间大家都忘了，就好像什么都没学一样。我被这种考试制度害苦了。我是第一名，所有人眼中的好学生。可是我觉得我根本就不懂数学。有许多数学家都谈过数学学习方法，谈过学数学应掌握到什么程度。我读过，我知道，但我没那么做，我没有那么多时间那样学数学。（大家都知道现在本科生课程安排有多满，多得没时间思考。奇怪的是，只靠考前突击过关的人从来不嫌课多。大环境如此，我辈奈何？现在数学系招那么多人，每个班至多只有几个人会走数学的道路。总不能为了几个人，让大部分人考试不过关吧；总不能为了几个人，不考虑其他人的就业问题吧。奇怪啊！数学系的培养目标不是培养数学人才！）现实中的考试曾让我怀疑是否有必要深入的掌握数学，没有人（亲口）告诉我我该怎么学数学，应该学到什么深度。也许，我的幸运在于大三下学期遇到了我的硕士导师，也是我现在的导师。他是我在现实中接触过的第一位真正的数学家。从他身上，我看到了书中描述的数学家的品质。此前，我见过数学教授。见多了所谓的教授、副教授我曾经一度怀疑书中描述的数学家世界只是一个虚幻。直到见到他，我不再怀疑。如果华罗庚是我的第一个，（当然）也是永远的精神导师，那么从那时起我有了一个实实在在的数学家导师。我接触到了数学家世界，我渴望已久的世界，原来它不是一个梦幻。然而，可悲的是，我那考试得来的第一名对我进入这个世界毫无帮助。我意识到我必须重头学起。我感到自己无比的渺小，以至于不敢考研（我错过了一次进入中科院数学与系统科学研究院的机会，错过了跟随一位院士学习的机会）。另一方面，提前决定保研（我的成绩和拿过数学建模全国一等奖，美国二等奖保证了这个选择没有任何风险）为我争取到了重学数学的大量时间，因为大四的课程总是很少的，而我又不必为考研付出时间。现在回想起这段经历，我也不觉得有什么后悔。以我原来的基础，跟随无论多么伟大的数学家都不会有什么作为。思考是一件美妙的事。我重学数学，我选择全套北大的教材，我开始思考（我原来没思考吗？有时间思考吗？）。后来我发现并不是北大的教材就是同类教材中最好的，但是当我没有选择判断教材好坏能力的时候，那真是一个不错的选择。我至少在某种意义上接受了和北大学生同样好的数学训练（北大学生有意见吗？他们真是幸福，有老师。而我是我自己的老师）。只读数学教师的书会让你成为数学家吗？只读数学教材会让你成为数学家吗？波利亚说“应该读数学家的著作”。如果你有心的话，会发现著名数学家写的基础著作和科普著作原来有很多（这辈子你读得完吗？），读吧，看看数学家心中的数学。数学家心中的数学是一致的吗？你会发现数学家对数学的理解都有独到之处，甚至存在截然不同的观点。当有一日，你发现你开始对数学有了自己的理解，（或者说，你不能人云亦云，对伟大的数学家也是如此，你应当有自己的观点），祝贺你！你快成数学家了。你只需做出自己的发现了。

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