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xirainbow

木虫 (正式写手)

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[交流] 【原创】The meaning of nband 已有1人参与

MS版上发了个贴，讨论nband的意义
PWscf也牵涉到这个问题。

以下为我自己的理解，其中最后一段有待商榷
原帖网址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5f15ead20100e1l5.html
由于上传图片比较麻烦
所以原帖中的很多公式我没有上传
有兴趣的可以去博客上看；）

This is my second try. I spend almost two days to get some progress in understanding of Davidson diagonalization. I am not interested in Davidson method itself. But without knowing it, you can not understand the real meaning of parameter "nband".

在计算中指定了截止动能，对于一个固定的k点，也就意味着指定了有多少个G（=2pi/a的整数倍）参与傅立叶变换（假设为M个）。而G的个数就是相应哈密顿量的维度，M*M维。通常M是非常大的，而我们只需要知道较低的几个被占据的能级，即可求出总能等一些列刚兴趣的物理量。因此直接对M*M维的哈密顿量进行对角化是不合适的。所以需要采用迭代的方法来求解几个低能的本征值和本征能量即可。

   其实迭代方法在矩阵对角化中是非常常用的数值计算方法，他可以通过迭代的方式只求出某一个或者几个本征值。Davidson是其中一个非常出名的，因为他在量子力学中取得了很大的成功，这个成功来源于量子力学的哈密顿矩阵通常都是稀疏的，就是非对角元很多都是0，或者接近0。

   当nband被指定后，本征方程的就被给定。。本征方程的维度N应该是等于nband的。此时N远小于有ecutwfc决定的G的个数，即H的维度M*M。而波函数psi则是由M个平面波的叠加。

   然后求得对初始猜测波函数的修正。这样的修正波函数作为独立的基矢，加入到初始猜测的N个波函数上，构成N+1维的子空间。如果对N个初始猜测波函数均采用这种办法，则得到2*N维的子空间。然后，在2*N维的子空间中求得H矩阵，并对其对角化，比较前N个本征值是否有变化，判定是否收敛。
(本征方程的维度是否在不断扩大，有待商榷)
纳米盘下载：
http://d.namipan.com/sd/1558396

[ Last edited by wuli8 on 2009-12-22 at 19:13 ]

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1楼 2009-12-22 16:53:39

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xirainbow

木虫 (正式写手)

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aylayl08(金币+2):谢谢交流讨论 2010-02-18 09:35

引用回帖:

Originally posted by goldenfisher at 2010-02-10 09:12:15:
nbnd的个数必须远远小于平面波个数，通常来说满足，但是很多时候还是不满足的，比如高温的时候。

你可以看看pwscf的mail-list，很多人也在讨论这个问题

多谢您的指正：）
本人孤陋寡闻，没用过分子动力学
所以只知道通常的DFT只能计算0K的性质：）

davidson使用的子空间迭代法
如果[哈密顿量的维度/子空间的维度]过小，
那么少数几次迭代后，子空间将搜索完整个空间
而此时还没有收敛
因此会出问题：（
但其中更细节的数学知识我不懂：（

[ Last edited by xirainbow on 2010-2-10 at 11:20 ]