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小狗

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[交流] 对国内数学的思考(转贴)

作者实际上是在对国内数学教育进行思考，尤其是对国内非数学类数学教材的看法。经常看到国外一些工科类学生抱怨国内的工科教育，不满意的地方主要集中在：国内工科教育不重视数学基础，和理科脱节太严重，教学内容陈旧，完全是在培养打工仔。
教材某种程度上可以算作半个老师，但国内在很多学科方向上教材建设都非常落后.......
对数学的思考
最近因为工作关系，看了一些数学书。我以TAMU 的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。
该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis.
一背景
傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有傅立叶级数；傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都知道的。而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的水平。傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方程的需要，在18 世纪由法国的工程师兼学者Fourier 在其名著热的解析理论中予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现代数学的发展，都深具影响。实变函数论的开创者Lebesgue（1875 年生）最早就是通过研究三角级数从而提出明晰的测度概念并将黎曼积分扩充为Lebesgue 积分，从而大大扩充可积函数的范围的。三角级数还是产生很多病态函数的温床。比如1872 年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（对n＝0，1，。。。求和）。此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。
二对"分析"的分析
目前国内工科学生学习的数学主要有：
高等数学（主要是18 世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何）
线性代数
概率统计
复变函数
积分变换
后四门课的名字很明确，基本反映了内容。但是高等数学这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢？实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析？这个问题若搞清楚，就可以从本质上把握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了（学数学决不是模仿！！而是要有高屋建瓴的把握）。
我沿着西方的分析思想，对"分析"二字结合数学分析的内容做一个分析。
如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看自己的造化了。分析的英文原文是：analysis。MW字典对其原意的解释是，separation of a whole into its component parts.
汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。
据金山词霸,分的本意是：(会意。从八,从刀。"八"就是分;从"刀",是以刀剖物,使之分开的意思。
本义:一分为二)析的本意是：(会意。从木,从斤。用斧子劈开木头。本义:劈,劈木头)这两个字都是会意字所以analysis 汉语翻译做"分析"是恰当的。
当然分析一词还有引申义， "将事物、现象、概念分门别类,离析出本质及其内在联系"
有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了。（正是这些任务使得数学分析成为一个整体，而不是分立概念的罗列）
从集合，映射的观点来看（这些都是19 世纪，20 世纪的一些观念）
数学分析的主要对象是定义域，值域均是实数集合子集的映射(这种映射基本就是所谓实变函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射），所以换句话数学分析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。
对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧重于对引申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的引申意义上的分析。
比如研究了四种特殊的函数性质
1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 单调性。
这四种特性都是几何上非常直观的。（在数学分析发展的早期，直观是指引人前进的很好工具）注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数，幂，指，对，三角，反三角）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究需要相当的技巧，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的时候，就求过几个特殊的简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可见利用初等数学的工具解决复杂的难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的公式化和机械化）。
实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家可能记得在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。
人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000 年的时间，到了牛顿和莱布尼茨的时代，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的概念刷新了分析数学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础，这为函数的分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。
有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态的角度研究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数值的变化趋势，对求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特殊的极限－－导数。有了导数，当然可以继续研究高阶导数。
在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现在还有疑问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这些中值定理主要是由法，德两国人创立。
我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。（依照逻辑顺序排列）
1 费马定理 Fermat 1601-1665
2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理）
3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理）
4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日定理）
5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）
现在我们能够看到明确的问题了!
1 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50 年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50 年时间。
启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个中值定理，就花了人类100 年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21 世纪，我们不能用18 世纪的速度要求人类和自己）。
2 落笔大，泰勒出生都比柯西早100 年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了未出生的人的定理呢？
对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用到柯西定理！！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！泰勒，落笔大所用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。
这两点对我们的总的启示是，即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我们中国的教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。
当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，而我们就不行。现在终于明白了。
第二点，数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，来源于人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经打磨不能耀眼一样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始的微积分概念是非常含混的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够清晰（考虑到他是几百年前的大哥，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿对高阶无穷小的无端忽略是"暴力镇压"。我们所熟知的yipusilon－delta 法则是柯西在牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是，cantor 等人完善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数学大厦曾经经历了多少次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！！
三在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能使学生成为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可攀的神袛。严重打击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学发展的真相，使得历史发展的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea 的发展成为高不可攀的绝妙证明。学生成为一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是这种开拓性人才！！

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