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小狗

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[交流] 朗兰兹纲领

菲尔茨奖得主洛朗?拉佛阁

1966年11月6日生于法国安东尼，1986年毕业于巴黎高等师范学校，1990年成为法国国家科学研究中心的助理研究员，同时参加巴黎南大学的算术与代数几何小组的工作并于1994年获博士学位。2000年他成为位于法国伊沃特布雷的高等科学研究院的终身数学教授。

洛朗?拉佛阁在朗兰兹纲领研究方面取得了巨大的进展，他证明了与函数域情形相应的整体朗兰兹纲领。他的工作的特点是：令人惊叹的技巧，深刻的洞察力和系统有力的方法。

朗兰兹纲领最先是由罗伯特?朗兰兹(RobertP．Langlands)在1967年给安德雷?韦依(AndreWeil)的一封著名的信中提出的。它是一组意义深远的猜想，这些猜想精确地预言了数学中某些表面上毫不相干的领域之间可能存在的联系。朗兰兹纲领的影响近年来与日俱增，与它有关的每一个新的进展都被看作是重要的成果。

对朗兰兹纲领最强有力的支持之一，是20世纪90年代安德鲁?维尔斯(AndrewWiles)证明费马大定理。维尔斯的证明与其他人的工作一起导致了谷山―志村―韦依猜想的解决。该猜想揭示了椭圆曲线与模形式之间的关系，前者是具有深刻算术性质的几何对象，后者是来源于截然不同的数学分析领域的高度周期性的函数。朗兰兹纲领则提出了数论中的伽罗瓦表示与分析中的自守型之间的一个关系网。

朗兰兹纲领的根源，可以追溯到数论中最深刻的结果之一----二次互反律。二次互反律最早产生于17世纪费马的时代，1801年高斯给出了其第一个证明。数论中经常提到的一个问题是：当两个素数相除时，余数是否是完全平方?二次互反律揭示了关于素数p和q的两个貌似无关的问题之间存在的奇妙联系，这两个问题是：“p除以q的余数是否为完全平方?”与“q除以p的余数是否为完全平方?”尽管关于这一定律已经有许多证明(高斯本人就给出了六个不同的证明)，二次互反律仍然是数论中最神奇的事实之一。20世纪20年代高木贞治和埃米?阿廷又发现了其它的较一般的互反律。朗兰兹纲领的一个最初动机，就是要对更一般情形的互反律提供完全的理解。

拉佛阁所证明的相应的整体朗兰兹纲领，对更抽象的所谓函数域而非通常的数域情形提供了这样一种完全的理解。我们可以将函数域设想为由多项式的商组成的集合，对这些多项式商可以像有理数那样进行加、减、乘、除。拉佛阁对于任意给定的函数域建立了其伽罗瓦群表示和与该域相伴的自守型之间的精确联系。拉佛阁的研究是以1990年菲尔茨奖获得者弗拉基米尔?德里菲尔德的工作为基础，后者在20世纪70年代证明了相应的朗兰兹纲领的特殊情形。拉佛阁首先认识到德里菲尔德的工作可以被推广而为函数域情形的相应的朗兰兹纲领提供一幅完整的图像。

在这一工作的过程中，拉佛阁还发现了一种将来可能被证明是十分重要的新的几何构造。所有这些发展的影响正在波及整个数学。

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