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[交流] 【转帖】复射影空间上的向量丛

标题: 复射影空间上的向量丛
作者: 道德

学过一点几何的人都听说过向量丛(vector bundle)这个概念。这里要说的是全纯（holomorphic)向量丛。在所有紧致复流形（compact complex manifold）中，复射影空间（projective space）恐怕算是最简单的了。即便是在这样简单的空间上，也有一些很有意思但很难的问题。

今天我们来聊聊射影空间上的秩（rank）为2的全纯向量丛。先从最简单的情形看起。

下面说到向量丛，指的都是全纯向量丛。

射影空间是一维的时候，有一个著名的定理说，它上面任何向量丛都可以写为线丛（line bundle）的直和。线丛就是秩为1的向量丛。这个定理有很多名字，代数几何上叫做Grothendieck引理。实际上在他之前大概就有人就知道了，最早可以追朔到 Hilbert，但那时是用别的语言来表述的。这个定理的证明不难，有兴趣的话可以自己想想。

现在来看2维射影空间。大概在1960年代，人们就找到不能写为线丛直和的向量丛。这方面最权威的工作是Serre的一个定理，对于一个代数曲面，他在秩（rank）为2的全纯向量丛和曲面上零维代数子族之间建立了一个联系，这个关系有一些推广，这里不详述了。回到2维射影空间，在下面这个正合列中， E是一个不可分解（indecomposable）的向量丛。

0 ---> C ---> E ---> I_p ---> 0

其中C表示平凡线丛，I_p是一个点的理想层（ideal sheaf）。

接下来就是P3了，这种情形的理论已经比较成熟。他和P3中的代数曲线分类相关。Horrocks独立的发现了Serre早先的方法，然后用它构造出P3上不可分解的向量丛。

令人惊奇的工作是在P4上，Horrocks和Mumford构造出一个c_1=5,c_2=10的向量丛，这是迄今为止知道的唯一的一个例子。利用Serre的理论，它对应于P4中一个Abelian曲面的存在性。

最后，在P5上至今还没有找到不可分解的秩（rank）为2的全纯向量丛。也没有证明它的不存在性。已知的结论是，如果Pn上存在的话，则P(n-1)上也存在，这里要求n>4。这个存在性问题和Hartshorne的一个猜想是等价的。限于篇幅，不多说了。

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