| 查看: 288 | 回复: 1 | |||
| 当前主题已经存档。 | |||
formleaf实习版主
|
[交流]
【转帖】复射影空间上的向量丛
|
||
|
标题: 复射影空间上的向量丛 作者: 道德 学过一点几何的人都听说过向量丛(vector bundle)这个概念。这里要说的是全纯（holomorphic)向量丛。在所有紧致复流形（compact complex manifold）中，复射影空间（projective space）恐怕算是最简单的了。即便是在这样简单的空间上，也有一些很有意思但很难的问题。 今天我们来聊聊射影空间上的秩（rank）为2的全纯向量丛。先从最简单的情形看起。 下面说到向量丛，指的都是全纯向量丛。 射影空间是一维的时候，有一个著名的定理说，它上面任何向量丛都可以写为线丛（line bundle）的直和。线丛就是秩为1的向量丛。这个定理有很多名字，代数几何上叫做Grothendieck引理。实际上在他之前大概就有人就知道了，最早可以追朔到 Hilbert，但那时是用别的语言来表述的。这个定理的证明不难，有兴趣的话可以自己想想。 现在来看2维射影空间。大概在1960年代，人们就找到不能写为线丛直和的向量丛。这方面最权威的工作是Serre的一个定理，对于一个代数曲面，他在秩（rank）为2的全纯向量丛和曲面上零维代数子族之间建立了一个联系，这个关系有一些推广，这里不详述了。回到2维射影空间，在下面这个正合列中， E是一个不可分解（indecomposable）的向量丛。 0 ---> C ---> E ---> I_p ---> 0 其中C表示平凡线丛，I_p是一个点的理想层（ideal sheaf）。 接下来就是P3了，这种情形的理论已经比较成熟。他和P3中的代数曲线分类相关。Horrocks独立的发现了Serre早先的方法，然后用它构造出P3上不可分解的向量丛。 令人惊奇的工作是在P4上，Horrocks和Mumford构造出一个c_1=5,c_2=10的向量丛，这是迄今为止知道的唯一的一个例子。利用Serre的理论，它对应于P4中一个Abelian曲面的存在性。 最后，在P5上至今还没有找到不可分解的秩（rank）为2的全纯向量丛。也没有证明它的不存在性。已知的结论是，如果Pn上存在的话，则P(n-1)上也存在，这里要求n>4。这个存在性问题和Hartshorne的一个猜想是等价的。限于篇幅，不多说了。 |
回复此楼» 猜你喜欢
08生物与医药专硕初试346找调剂
已经有5人回复
-
江苏科技大学招材料研究生
已经有4人回复
-
0856，269分求调剂
已经有5人回复
-
303分 0807学硕求调剂
已经有3人回复
-
085600 一志愿9 总分351 求调剂学校
已经有9人回复
-
一志愿郑大材料工程290求调剂
已经有18人回复
-
一志愿北京科技，085601总分305求调剂
已经有4人回复
-
0710生物学求调剂
已经有3人回复
-
285求调剂
已经有8人回复
-
273求调剂
已经有18人回复
wuguocheng
新虫
- 应助: 2 (幼儿园)
- 贵宾: 7.049
- 金币: 3674.1
- 散金: 316
- 红花: 22
- 沙发: 1
- 帖子: 3032
- 在线: 352.5小时
- 虫号: 623107
- 注册: 2008-10-11
- 性别: GG
- 专业: 力学中的基本问题和方法
- 管辖: 土木建筑
2楼2009-11-26 23:50:06
