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木虫 (正式写手)

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[交流] 【转帖】小的集合

标题: 小的集合
作者: gauge

集合的大小和数的大小是不同的概念，数的大小是指相对大小，因为实数之间可以进行比较。集合的大小是一个绝对的概念。集合的大小不是通常意义下的包含关系。

首先，测度论中的0测集是很小的集合。我们记住测度就是体积。两个体积为0的点集，合并起来的更大的集合，体积仍然是0。更一般的，可数多个体积为0的点集，合并起来后的点集，体积还是0.另外，体积为0的点集，它的一部分，也即一个子集，体积也是0. 所以0测集是很小的集合，这些集合是如此之小，以至于可数无穷多个这样的集合放到一起仍然很小。

第二个例子，这个相对来说要困难一些。被称为Baire纲。我们简要的描述一下。

假设X为一个拓扑空间，则其中的一个子集A,如果可以写作可数多个稠密开子集的并集，则称A为第二纲的。一个子集B,若其余集X-B为第二纲的，则称B为第一纲的。

第一纲的点集可以称作在拓扑的意义下很小的集合。因为它同样具有性质：可数无穷多个这样的点集合并起来还是这种集合。因为第一纲的集合很小，所以其中的元素不具有代表性，也就是说，我们可以认为一个拓扑空间的典型元素是在它的一个第二纲的子集里面。当然这个第二纲的子集不适预先给出的，它依赖于我们所讨论的问题。

假设有一个关于X中的点x的性质、陈述或者论断，叫做P(x). 如果对于性质P,使得P成立的点x构成X的一个第二纲的子集A={x|P(x)成立}。此时，我们称A中的点相对于性质P处于一般位置，并称性质P具有一般性，我们也简称x\in A处于一般位置。

Baire纲是泛函分析和微分拓扑中的一个极其重要的概念。可以举出很多应用Baire纲来进行证明的例子，很多定理得叙述也直接包含了这个概念。我们举几个例子。

1，临界点理论中的Morse函数是充分多的。也就是说在一个微分流形M上，取连续可微的函数空间X=C^2(M),则X中的一般的函数都是Morse函数。

2，微分拓扑中的Thom横截定理。该定理断言，一个微分流形的两个子流形，在一般的意义下是相互横截的。横截的意思是，在相交的点处不是相切的。

3，微积分里面有一个Weierstrass给出的很有名的例子，Weierstrass构造了一个处处连续然而又处处不可微分的函数。使用Baire 纲推理可以证明，在连续函数空间$X=C[0,1]$中，在某个点可导的函数构成的子集B是第一纲的，换言之，只有很少的函数是可导的。可导显然是比连续要好得多的性质，因而好的性质是一个稀有事件。一般的元素都是不好的。

4，广义相对论中对于Penrose的那个宇宙监督猜测的叙述：在一般的意义下，没有裸奇点。Penrose最初的那个叙述没有这个一般性要求，对此很容易构造一个反例。

5，偏微分方程理论中的超临界指数的热方程，奇点是否会爆裂也是在一般性条件之下陈述的。

与Baire纲有关的证明被称为Baire纲推理，即Category argument.

6. 泛函分析中最基本的几个定理，比如Banach一致有界定理，都可以用纲推理来证明。学过泛函分析的都知道这个。列举在此。

7. 热力学的基本假设(Boltzmann)：热力学系统是遍历的。显然存在不是遍历的系统。那么这个假设到底是什么意思？比如是否可以说，一般的热力学体系都是遍历的。对于力学体系，可以由其Hamilton函数以及相空间上的流来描述。那么我们可以自然的猜测：对于一个一般意义下的Hamilton函数，其动力系统都是遍历的。如果这个猜测成立，那么我们就可以说对于Boltzmann的假设有了一个很好的理解。然而，事实证明，刚好相反，具有遍历性质的力学体系是第一纲的，确切的说，不是遍历的体系是一个稠密开集。这说明我们以点粒子来描述热力学体系是不正确的，自然界比我们想象的要复杂得多。 Boltzmann anstz是一个没有被充分理解的假设，也许再过100年我们仍然不能完全的理解它。

[附录一] 第二纲这个概念一般而言都是在所谓的完备度量空间或者局部紧Hausdorff空间来讨论的。

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