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【原创】关于k点取样
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实际上，关于k点取样，有些人还不是很明白。我将在这里做简单的介绍。若有问题，请指教。 首先，需要你了解一下固体物理的基本知识。 能带理论无疑是固体最成功的一块理论之一。它成功解释了什么是导体，半导体，绝缘体等！而密度泛函理论实际也是建立在它的基础上。其实这个近似最早应该是奥本海默的绝热近似，这个近似是由于核的质量远远大于电子的质量，所以核的速度远远小于电子的速度。这样核和电子的波函数成功的分离。认为核在平衡位置附近振动，核和核之间可以看成整体振动，形成了格波，就是所谓的声子。我在这里就不细讲了。而认为电子则可以看成自由电子在一个周期场的微扰之下运动，我们知道电子是全同费米子。两个电子是不可区分的。电子和电子之间可以看成一种整体在运动。那么在倒空间里，电子的能量Ek是k的准连续函数。由于平移对称性的考虑，我们可以只研究第一布里渊区。实际上就会形成一条条带，而一条带则相当于两个电子（这里考虑到自旋）。这部分随便找本固体书就有。 而实际上我们所需要的就是所有电子的能量，这个我们可以通过对dk积分得到。将布里渊区所有的快点积分，就是电子的能量。但实际上，我们是做不到的，首先 k点是无穷多个；其次，我们在利用自洽的方法解薛定谔方程的时候，实际是对每个k点求解的。k点多了，计算量自然就上去了。由于Ek是k的准连续函数，这样我们可以通过k点的取样，求解个别的k点。这样只要趋势对了，自然Ek对k的函数就确定了，这样电子的能量就通过积分可得（当然，我在这里也是大概的描述。），当然是k点越多，计算越准，当然这里没有考虑到系统误差。至于k点的取样是有很多种方法的，这实际上就属于技术问题了。比较方面的是M-P取样，我简单的描述一下这中方法。举一个一维的例子。如果正空间的晶格常数是0.5的话，那么倒空间的晶格常数就为2.如果我们取四个k点的话，就是 -0.75，-0.25，0.25，0.75.这样我们通过这四个点的积分，便可以求出总能量。至于其它的方法，如果你有兴趣，可以自己研究一下，其实这部分不是很难。只是cohen的方法相对难些。 当然考虑对称性可以简化计算。这里，如果有轴对称的话，我们只需要算0.25，和0.75就可以了，每个的权重相当于0.5.在立方晶系，常常由于对称性的考虑，即使你选了1000个k点，但实际需要计算的也许就几十个。这样有效的节约了计算资源，提高了计算速度。但这个，初学者可以先不管，重要的是每个 k点的薛定谔方程式如何解的，先搞清其它理论，最后可以再搞群伦。当然有能力的话，就一起来。 至于k点如何取样，这主要看倒空间的比例，如果倒空间的比例为：2比3比4.你可以按这个比例选，4 6 8， 或6 9 12.当然需要收敛测试，测试到你认为能量收敛即可。 对于vasp，除了M-P方法，还有一种G法，通常在六角晶系中使用。 每个软件都有自己的取法，这个可以看看说明书，例如abinit就有自己的方法。 以上只是简单介绍，如果有问题，请谅解。我在家中，没有资料，只能凭自己的想法写一些东西。 |
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9楼2009-11-23 10:07:17
★★★★★ 五星级,优秀推荐
★ ★
fegg7502(金币+2,VIP+0):thank you very much! 11-23 01:51
fegg7502(金币+2,VIP+0):thank you very much! 11-23 01:51
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多谢版主的帖子；） 这个帖子的内容其实对于很多软件都是适用的，不仅仅是VASP 有一个小问题：） “通过这四个点的积分，便可以求出总能量” 这个不太全面：）总能的计算中还包括其他很多项，不仅仅是电子本征能量的和。 需要从电子本征能量的和中将库伦斥能减去，还有XC能量也要减去一部分，最后还有Ewald能部分需要考虑；） 其实Kshift也是跟看点取样紧密相关的：） 哪位能出来解释一下它究竟是做什么用的？ (我知道它就是做了什么，但不知道为什么要这么做) 再次，布里渊区关于K点的积分，其实也不是通常我们想想的那种直接积分。它其实经历了一个小变换，以提高计算精度；） |
2楼2009-11-22 23:39:40
★ ★ ★ ★ ★
wuchenwf(金币+5,VIP+0):辛苦了！ 11-23 09:36
wuchenwf(金币+5,VIP+0):辛苦了！ 11-23 09:36
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当然了，我只是改出大体的思路。如果你去看程序。我这里的细节还是有很大问题的。 首先，能带画的是通过解单电子的方程解出的能带。所以这里的积分后的结果是band energy。并不是真正的总能量。这个很好理解，一你可以去看公式，二如果它得出的能量是总能量的话，那么就说明电子的总能量等于各个电子的总能量之和。当然，这是不对的。 至于shift，实际vasp以将它弱化了，对于每个软件，还是不同的。vasp的shift是主要用来做g点，正常你选偶数个M-P取样时，是不做G点的。当你选奇数个时，其实就相当了G点取样。 至于它究竟是做什么的，以及到底是怎么做的，这个还得看程序，因为各个程序在对k点积分是不同的。如果大家不信，可以去看程序源代码。那样才能证明你想法的正确性。 至于是不是直接积分，也得分程序，而且每个程序的积分方法也有很多种。我只是看过正常四面体积分的源代码，因为这个很简单，容易理解。至于其它的方法，肯定就不是这样做的。如果想进一步了解，看得看程序，别人即使说了，理解也不深刻。源码的计算方法还是挺神奇了。 |
4楼2009-11-23 08:10:07
5楼2009-11-23 08:40:31
