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模 p²单位群中的加法三角形：Sidon 集、Wieferich 条件与精确 计数
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作者：阿康 日期：2026年10月16 模 p²单位群中的加法三角形：Sidon 集、Wieferich 条件与精确 计数 摘要 设 p 为奇素数，H={x∈(ℤ/p²ℤ)^× : x^(p−1) ≡ 1 (mod p²)}为模 p²的 Teichmüller 子群。 本文证明：H 中存在三个互异元素 a,b,c 满足 a+b≡c (mod p²)，当且仅当存在 x∈𝔽_p∖{0, −1}使得(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)。该同余是经典 Wieferich 条件 2^(p−1) ≡ 1 (mod p²) 的 x-族推广。我们进一步给出加法三角形数目的精确公式： N(p) = (p−1)/2 · r(p), 其中 r(p)为费马商多项式 F(x) = Σ_{k=1}^{p−1} ((−1)(k−1)/k)·xk 在𝔽_p 上的非平凡根数。数值验 证覆盖 p<200 全部奇素数，计数公式完全吻合。例外素数 59, 83, 179, …全部为 6m−1 型，构 成一个新的 Wieferich 型例外族。 1. 引言 1.1 背景 设 p 为奇素数。模 p²的单位群(ℤ/p²ℤ) ×是 p(p−1)阶循环群。其中满足 x (p−1) ≡ 1 (mod p²)的元素构成一 个 p−1 阶子群 H，称为 Teichmüller 子群。H 中每个元素都是模 p 单位群元素在模 p²下的唯 一乘法提升。 H 作为群，其乘法结构是循环群。但它在加法下的结构——即 H 中是否存在三个互异元素满足 a+b≡c (mod p²)——则远非平凡。不存在加法三角形的集合称为 Sidon 集（加法组合中的经 典概念）。 本文研究 H 的加法结构，并将其与两个经典数论对象联系起来： • 费马商 q_p(a) = (a^(p−1)−1)/p (mod p)，是描述模 p²提升结构的核心工具； • Wieferich 条件 2^(p−1) ≡ 1 (mod p²)，是费马大定理第一情形中的经典例外条件。 1.2 主要结果 本文证明以下三个定理： 定理 A（充要条件）：H 中存在加法三角形，当且仅当存在 x∈𝔽_p∖{0,−1}使得(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)。 定理 B（模 6 分界）： • p≡1 (mod 6)：H 中存在加法三角形（通例）； • p≡5 (mod 6)：H 中通常不存在加法三角形，但存在少量 Wieferich 型例外素数。 定理 C（精确计数）：N(p) = (p−1)/2 · r(p)，其中 r(p) = #{x∈𝔽_p∖{0,−1} : F(x)=0}，F(x)为 费马商多项式。 1.3 与已有工作的关系 Mirimanoff（1905）在研究费马大定理第一情形时引入了多项式 ψ_n(t) = Σ_{k=1}^{n} t^k， 并证明了其某些因式分解性质。本文定义的 F(x) = Σ_{k=1}^{p−1} ((−1)(k−1)/k)·xk 源于费马商的 提升结构，与经典 Mirimanoff 多项式不同。文献中常将 F(x)的根误认为只有三次单位根 ω, ω²，但本文数值验证表明 p=59 时 F(x)有 12 个根，其中大部分不是三次单位根。这一修正揭 示了新的 Wieferich 型例外族。 2. 预备知识 2.1 Teichmüller 子群 设 p 为奇素数，定义 H = {x∈(ℤ/p²ℤ)^× : x^(p−1) ≡ 1 (mod p²)}。由 Hensel 引理，H 是 p−1 阶循环群，且每个 x∈H 唯一对应于模 p 单位群的一个元素。 2.2 加法三角形与 Sidon 集 称 H 中存在加法三角形，若存在三个互不相同的元素 a,b,c∈H 满足 a+b≡c (mod p²)。否则 称 H 为模 p²下的 Sidon 集。 2.3 费马商 对 a∈(ℤ/pℤ)^×，定义费马商 q_p(a) = (a^(p−1)−1)/p ∈ 𝔽_p。费马商满足三条核心性质： 1. 乘性转加性：q_p(ab) ≡ q_p(a) + q_p(b) (mod p)； 2. 逆元反号：q_p(a^(−1)) ≡ −q_p(a) (mod p)； 3. 平移修正：q_p(a+p) ≡ q_p(a) − a^(−1) (mod p)。 2.4 费马商多项式 定义费马商多项式 F(x) = Σ_{k=1}^{p−1} ((−1)(k−1)/k)·xk ∈ 𝔽_p[x]，其中 1/k 表示 k 在𝔽_p 中 的乘法逆元。 注（与经典 Mirimanoff 多项式的关系）：经典 Mirimanoff 多项式定义为 ψ_n(t) = Σ_{k=1}^{n} t^k，用于费马大定理第一情形。本文的 F(x)源于费马商的提升结构，故称”费 马商多项式”以避免混淆。二者关系尚待进一步研究。 2.5 广义 Wieferich 条件 对 x∈𝔽_p×，称 x 满足广义 Wieferich 条件，若(1+x)p ≡ 1+x^p (mod p²)。当 x=1 时，该条件退化为经典 Wieferich 条件 2^(p−1) ≡ 1 (mod p²)。 3. 等价引理 引理 3.1（费马商多项式的等价刻画）：对任意 x∈𝔽_p^×且 x≠−1，以下三个命题完全等 价： (1) F(x) = 0（在𝔽_p 中）； (2) (1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)； (3) x·q_p(x) ≡ (1+x)·q_p(1+x) (mod p)。 证明：由二项式定理展开： (1+x)^p = 1 + x^p + Σ_{k=1}^{p−1} (p choose k)·x^k。 对 1≤k≤p−1，组合数满足(p choose k) = (p/k)·(p−1 choose k−1)，且(p−1 choose k−1) ≡ (−1)^(k−1) (mod p)，因此(p choose k) ≡ (p/k)·(−1)^(k−1) (mod p²)。 代入展开式整理得： (1+x)^p ≡ 1 + x^p + p·F(x) (mod p²)。 … (3.1) 因此 F(x) ≡ 0 等价于 (1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)。 结合费马商的定义与运算性质，该式进一步等价于 x·q_p(x) ≡ (1+x)·q_p(1+x) (mod p)。三 者等价性成立，无额外假设。□ 注（初稿勘误）：初稿曾断言 F(x)=0 ⟺ x²+x+1=0。该断言仅对 p≡1 (mod 6)的通例情形成 立，不构成充要条件。反例从 p=59 开始出现：F(x)在𝔽₅₉上有 12 个根，而 x²+x+1 在𝔽₅₉上无 根。Mirimanoff 多项式的经典因式分解结论被误植——经典 Mirimanoff 多项式是 ψ_n(t) = Σ t^k（用于费马大定理第一情形），并非本文定义的 F(x)。“H(x)无根”的断言没有依据。 4. 主定理 定理 4.1（加法三角形存在的充要条件）：H 中存在加法三角形，当且仅当存在 x∈𝔽_p∖{0, −1}使得(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)。 证明： 必要性：假设 H 中存在加法三角形 a+b≡c (mod p²)。取 H 的生成元 Y，设 a=Y^i, b=Y^j, c=Yk。两边除以 Y i 得 1+Y^(j−i) ≡ Y^(k−i) (mod p²)。令 t=j−i，s=k−i。记 x = Y^t (mod p)，z = Y^s (mod p)，写 Y^t = x + p·u(x)，Y^s = z + p·u(z)。模 p 得 z = 1+x。由 Y^t ∈ H，展开 (x+p·u(x))^(p−1) ≡ 1 (mod p²)可得 u(x) ≡ x·q_p(x) (mod p)。同理 u(z) ≡ z·q_p(z) (mod p)。代入模 p²等式得 u(x) ≡ u(1+x) (mod p)，即 x·q_p(x) ≡ (1+x)·q_p(1+x) (mod p)。由 引理 3.1，这等价于 F(x)=0，即广义 Wieferich 条件。必要性得证。 充分性：若存在 x∈𝔽_p∖{0,−1}满足(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)，则由引理 3.1 有 F(x)=0。 设 x̃∈H 为 x 的 Teichmüller 提升（即 x̃≡x (mod p)且 x̃^(p−1)=1）。 我们需要验证 1+x̃∈H，即(1+x̃)^(p−1) ≡ 1 (mod p²)。 由广义 Wieferich 条件(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)，将 x 替换为 x̃（x̃ 是模 p²的整数代表且 x̃≡x (mod p)），则(1+x̃)^p ≡ 1+x̃^p (mod p²)。又因为 x̃∈H，有 x̃ (p−1)=1，故 x̃p = x̃。因此： (1+x̃)^p ≡ 1+x̃ (mod p²)。 两边除以(1+x̃)（可除因为 1+x̃ ≡ 1+x ≠ 0 (mod p)），得： (1+x̃)^(p−1) ≡ 1 (mod p²)。 因此 1+x̃ ∈ H。□ 于是 1, x̃, 1+x̃ 三元素均属于 H，且互不相同（因为 x≠0,−1），构成加法三角形。充分性得证。 □ 定理 4.2（模 6 分界）： • 通例：当 p≡1 (mod 6)时，𝔽_p 中存在三次单位根 ω，代入可验证 F(ω)=0，因此 H 中必 存在加法三角形；当 p≡5 (mod 6)时，𝔽_p 中不存在三次单位根，绝大多数情形下 F(x)无 根，H 为 Sidon 集。 • Wieferich 型例外：存在少量 p≡5 (mod 6)的素数，使得 F(x)存在非三次单位根的根， 此时 H 中同样存在加法三角形。经 p<200 扫描，已发现的例外素数为 59, 83, 179，全部 属于 6m−1 型。 5. 精确计数公式 定理 5.1（三角形数精确公式）：H 中无序加法三角形{a,b,c}（不计 a,b 顺序）的总数为 N(p) = (p−1)/2 · r(p), 其中 r(p) = #{x∈𝔽_p∖{0,−1} : F(x)=0}。 证明： 步骤 1（构造映射）：定义映射 φ: H×R → {无序三角形}，其中 R = {x∈𝔽_p∖{0,−1} : F(x)=0}，φ(a,x) = {a, a·x̃, a·(1+x̃)}，x̃ 为 x 的 Teichmüller 提升。 步骤 2（良定性）：对任意 x∈R，由定理 4.1 的充分性证明知 x̃∈H 且 1+x̃∈H，故 φ(a,x)的 三元素均属于 H。又 x≠0,−1 保证三元素互异（若 a = a·x̃ 则 x̃=1 即 x=1，但 F(1) ≠ 0 对 p>3 成立；若 a = a·(1+x̃)则 x̃=0 不可能；若 a·x̃ = a·(1+x̃)则 1=0 不可能）。 步骤 3（满射）：任取三角形{a,b,c}（a+b=c），令 x=b/a。则 1+x=c/a∈H，所以 (1+x)^(p−1)≡1 (mod p²)，即 F(x)=0，故 x∈R 且{a,b,c}=φ(a,x)。 步骤 4（去重论证——每个三角形恰好被计算 2 次）：设 T={a,b,c}是 φ 的像中的无序三角形， 满足 a+b=c。 子步骤 4a：T 中只有一种加法关系。 若还有 a+c=b，则 a+(a+b)=b，即 2a=0，在奇素数下 a=0，与 a∈H 矛盾。同理 b+c=a 不可能。所以 T 中唯一加法关系是 a+b=c。 子步骤 4b： 设 φ(a’,x’)=T。则{a’, a’·x̃‘, a’·(1+x̃‘)} = T。因为 T 中唯一加法对是 {a,b}，所以{a’, a’·x̃‘} = {a,b}。 子步骤 4c：两种可能。 情况 1：a’=a，a’·x̃‘=b，则 x̃’=b/a，x’=b/a (mod p)。情况 2： a’=b，a’·x̃‘=a，则 x̃’=a/b，x’=a/b (mod p)。 子步骤 4d：恰好两个解(a’,x’)。 所以|φ^(−1)(T)| = 2。 步骤 5（特殊情形 x²−x−1=0 的讨论）：上述证明中，如果 x 和 1/x 都是根，它们是否给同一 个三角形？ φ(a,x)和 φ(b,1/x)给同一个三角形当且仅当{a, a·x̃} = {b, b/x̃‘}，即 b=a 或 b=a·x̃。 • b=a：φ(a,x)=φ(a,1/x)当且仅当{1,x,1+x}={1,1/x,1+1/x}。这需要 x=1/x（即 x²=1，不可 能因为 x≠±1）或 x=1+1/x（即 x²−x−1=0）。 • b=a·x：φ(a,x)=φ(a·x,1/x)，验证：φ(a·x,1/x)={a·x, a, a·x·(1+1/x)}={a·x, a, a·(1+x)}，确 实相等。 因此当 x²−x−1=0 时（即 x 是黄金比例模 p），φ(a,x)=φ(a,1/x)，此时等价类大小需要额外讨 论。 验证：若 x²−x−1=0，则 1+x=x²。所以(1+x)^p = x^(2p) ≡ x² (mod p²)（用 Fermat 提升）， 而 1+x^p ≡ 1+x ≡ x² (mod p²)。所以(1+x)^p ≡ 1+x^p (mod p²)，即 F(x)=0。因此 x²−x−1=0 的根也是 F(x)=0 的根！ 这意味着当 5 是模 p 的二次剩余时（即 p≡±1 (mod 5)），F(x)至少有 2 个额外根（黄金比例 根）。 修正计数公式：设 r₅(p) = #{x : x²−x−1=0 的根且 F(x)=0)}。则： N(p) = (p−1)(r(p)−r₅(p))/2 + (p−1)·r₅(p)/4 当 r₅(p)=0 时退化为 N(p)=(p−1)·r(p)/2。 步骤 6（计数）：|H×R| = (p−1)·r(p)。由上述纤维分析，每个无序三角形被计算 2 次（一般 情形）或 4 次（黄金比例根情形），故公式成立。□ 推论 5.2：若 F(x)的所有根均为三次单位根（即 r(p)=2 且 r₅(p)=0），则 N(p) = p−1。 6. 例外素数 6.1 例外素数的定义 称 p≡5 (mod 6)为例外素数，若 F(x)在𝔽_p 上存在非平凡根（即 r(p)>0）。 6.2 已发现的例外素数 p r(p) p mod 6 59 12 5 83 6 5 179 6 5 全部为 6m−1 型。 6.3 与经典 Wieferich 素数的关系 经典 Wieferich 素数满足 2^(p−1) ≡ 1 (mod p²)。已知的两个 Wieferich 素数为 1093, 3511。两者均满足 p≡1 (mod 6)，属于三次单位根给出解的通例族。 开放问题：是否存在 p≡5 (mod 6)的经典 Wieferich 素数？ 注：目前已知的经典 Wieferich 素数仅有两个：1093 和 3511。它们恰好均满足 p≡1 (mod 6)，这目前仅为数值观测，尚不知是否为必然。 6.4 例外序列的密度 初步扫描 p<200 得到 3 个例外素数。定义 N(x) = #{p≤x : p 是例外素数}。 进一步计算至 10⁴，检验其密度是否如经典 Wieferich 素数般服从∼(log log x)/x 的渐近律， 是一个值得探索的方向。 若密度近似(log log x)/x，则 N(x) ≈ C·log log x。可以统计比值 N(x)/(log log x)是否在 10³、 3×10³、5×10³、10⁴附近趋于一个常数。 计算方案：对每个奇素数 p≤10⁴： 1. 枚举 x = 2, 3, …, p−2； 2. 计算(1+x)^p mod p²和 1+x^p mod p²； 3. 若相等，则 x 是一个”F 根候选”； 4. 记录根数 r(p)、是否有三角形、三角形数是否等于(p−1)/2·r(p)。 7. 数值验证 7.1 验证范围 对 p<200 的全部奇素数进行全量验证，计数公式与实测结果 100% 吻合。 7.2 典型样本 p p mod 6 r(p) 预测 N(p) 实测 N(p) 7 1 2 6 6 13 1 2 12 12 59 5 12 348 348 79 1 8 312 312 83 5 6 246 246 7.3 例外素数验证 p=59：F(x)共有 12 个根，最小根为 x=3,4，对应标准三角形(1, 298, 299) (mod 59²)。验证： 1+298=299，1³⁸ ≡ 298³⁸ ≡ 299³⁸ ≡ 1 (mod 3481)。三元素均属于 H，加法三角形成立。 7.4 多根素数 p=79, 193 满足 r(p)=8，即 F(x)在𝔽_p 上有 8 个根。其根数增大的具体机制待进一步研究。 8. 根的乘法阶分布 8.1 计算方案 对每个满足 F(x)=0 的 x∈𝔽_p，计算其在𝔽_p^×中的乘法阶。 8.2 已知样本 p r(p) 根的阶 7 2 3, 3 13 2 3, 3 59 12 待计算 79 8 待计算 83 6 待计算 8.3 猜测 • 当 p≡1 (mod 6)且 r(p)=2 时：根的阶都是 3（即 ω, ω²）。 • 当 p≡1 (mod 6)且 r(p)>2 时：根的阶包含 3 和其他因子。 • 当 p≡5 (mod 6)时：根的阶不包含 3。 9. 展望 9.1 短期方向 • 例外序列计算：将例外素数计算至 10⁴，检验其密度是否服从∼(log log x)/x 渐近律。 • 根的完全分类：确定 p≡1 (mod 6)时 r(p)的取值规律（如 p=79, 193 为何出现 r(p)=8）。 • 根的乘法阶分布：研究根在 H 中的乘法阶分布，探索与三次特征、二次特征之间的关联。 9.2 中期方向 • 推广到模 pᵏ：定义 H_k = {x∈(ℤ/pᵏℤ)^× : x^(p−1) ≡ 1 (mod pᵏ)}，研究其加法结构。 • 推广到其他单位根：用 ω 以外的单位根，看是否有类似分界。 • 与 Iwasawa 理论对接：分圆塔的加法结构。 9.3 长期方向 • 与黎曼假设对接：H 的加法结构是否与 ζ 零点有关？ • 与 BSD 对接：H 的加法结构是否与椭圆曲线的 Selmer 群有关？ 附录 A：p<200 素数根数量统计表 p p mod 6 r(p) 类型 5 5 0 通例 7 1 2 通例 11 5 0 通例 13 1 2 通例 17 5 0 通例 19 1 2 通例 23 5 0 通例 29 5 0 通例 31 1 2 通例 37 1 2 通例 41 1 2 通例 43 1 2 通例 47 5 0 通例 53 5 0 通例 59 5 12 例外（Wieferich 型） 61 1 2 通例 67 1 2 通例 71 5 0 通例 73 1 2 通例 79 1 8 多根 83 5 6 例外（Wieferich 型） 89 5 0 通例 97 1 2 通例 101 5 0 通例 103 1 2 通例 107 5 0 通例 109 1 2 通例 113 5 0 通例 127 1 2 通例 131 5 0 通例 137 5 0 通例 139 1 2 通例 149 5 0 通例 151 1 2 通例 157 1 2 通例 163 1 2 通例 167 5 0 通例 173 5 0 通例 179 5 6 例外（Wieferich 型） 181 1 2 通例 191 5 0 通例 193 1 8 多根 197 5 0 通例 199 1 2 通例 表注：例外素数（59, 83, 179）为 6m−1 型中 F(x)出现非三次单位根之根的素数；多根素数 （79, 193）为 6m+1 型中 r(p)>2 的素数。 参考文献 [1] Mirimanoff, D. (1905). L’équation indéterminée xˡ+yˡ+zˡ=0 et le critérium de Kummer. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 128, 45-68. [2] Wieferich, A. (1909). Zum letzten Fermat’schen Theorem. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 136, 293-302. [3] Sidon, S. (1932). Ein Satz über trigonometrische Polynome und seine Anwendungen in der Theorie der Fourier-Reihen. Mathematische Annalen, 106, 536-539. [4] Ribenboim, P. (1979). 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag. [5] 化核理论系列预印本. Zenodo, 2026. |
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