| 查看: 43 | 回复: 0 | |||
[交流]
《认识数学 4 》 尺规作图 三等分角
|
|
有《认识数学 4 》一书， 科学出版社出版。席南华、付保华和郑维喆主编。（2025年10月出版） （P37） 尺规作图 郑维喆 （P38） 【到了19世纪，数学家最终严格证明这三个问题都不能用尺规作图解决。】 （P43）【笛卡尔在开篇指出，作图问题容易转化为求作指定长度的线段。】 （P43）【给定长度为a和b的线段，...........如果进一步给定单位长度的线段，则可以作出长度为ab..........的线段。】 （P44）【给定长度为1的线段，如果由1出发经过有限步五则运算可以得到a,那么就可以经过有限步...........操作作出长度为a的线段。】 （P44）【笛卡尔给出了能用尺规作图的判定准则——能用加减乘除和开平方得到。笛卡尔自豪地写道：“我相信古人没有注意到这一点，...........”】 （P45）【笛卡尔的判定准则...........这是证明...........三等分角等问题不可作性的关键。】 （P47）【把尺规作图问题转化成了一个代数问题：判断一个数能不能由1出发经过有限步加减乘除和开平方得到。】 （P49）【彼得森（Petersen）1871年的博士论文中给出了倍立方体和三等分角不能用尺规作图实现的完整证明】 （P49）【尽管三个古典问题已被严格证明不能用尺规作图解决，但仍然不断有业余研究人士进行无谓的尝试。】 （P50）【把命题用于x^3-2=0这个方程，就得到³√2 不可作。尺规作图不能倍立方体的证明完成了。】 （P50）【2.4.2 三等分角】 （P50）【三等分角问题要求三等分任意角。..........为此，只需证明120°角可作而40°角不可作。】 （P50）【cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】 （P50）【可知x=2( cos40°)满足方程x^3-3x+1=0。..........这个方程没有有理根，..........得到x不可作。因而cos40°不可作。】 （P53）【由π 是超越数得到√π 也是超越数，因此√π 不可作。尺规作图不能化圆为方。】 （P65）【尺规作图和根式解的一个有趣的交汇点是实根式解问题。】 （P65）【三次方程 x^3+px+q=0 .........如果有三个实根，.........虽然给出实根，但是中间过程会出现虚数。这个现象称为“不可约情形”。】 （P65）【三次方程有三个实根的情况能不能只用实根式求解呢？答案又是否定的。】 （P65）【在探索古老作图难题的过程中，........看似迥异的对象之间显现出微妙而深刻的联系。】 ********************************************************************************************** 讨论： 1）【给定单位长度的线段】--------一根线段能被“给定单位长度”？ 2）【给定长度为a和b的线段，...........如果进一步给定单位长度的线段，则可以作出长度为ab..........的线段。】-------------“给定长度为a和b的线段”在“空间”的表示是唯一的吗？a线段和b线段相乘的结果（长度为ab..........的线段）是在“空间”中唯一表示的？还是“受制于”给定单位长度的线段。数学的确定性体现在什么地方？ 3）【把尺规作图问题转化成了一个代数问题：判断一个数能不能由1出发经过有限步加减乘除和开平方得到。】-----------二等分任意角的“判定准则”也是“由1出发经过有限步加减乘除和开平方得到”吗？ 4）【³√2 不可作】【√π 不可作】【cos40°不可作】-----------“cos40°”是怎么样体现笛卡尔的“能用加减乘除和开平方得到”这一判定准则的？ 5）【三次方程 x^3+px+q=0 .........如果有三个实根，.........虽然给出实根，但是中间过程会出现虚数。这个现象称为“不可约情形”。】-----------这是在告诉人们，“cos40°”是无法给出笛卡尔所要求的“能用加减乘除和开平方得到”这样的“数学结构”的吗？ 6）【尽管三个古典问题已被严格证明不能用尺规作图解决，但仍然不断有业余研究人士进行无谓的尝试。】----------“cos40°”没有能够给出笛卡尔所要求的“能用加减乘除和开平方得到”这样的“数学结构”，这也算是“严格证明”？ 7）【在探索古老作图难题的过程中，........看似迥异的对象之间显现出微妙而深刻的联系。】------继续关心三等分角的讨论 ，找寻“微妙而深刻的联系”的数学基础内容，改变相应的数学教材。 |
回复此楼» 猜你喜欢
售SCI一区T0P文章，我:8.O55.1.O.54,科目全,可十急
已经有3人回复
-
国社科系统bug了，是不是要放榜了？
已经有9人回复
-
申博发邮件
已经有9人回复
-
各位大神，目前国内有哪些比较好用的逆合成软件？
已经有9人回复
-
上海工程技术大学激光智能制造课题组｜2027级博士研究生招生公告
已经有8人回复
-
上海工程技术大学激光智能制造课题组招收博士研究生
已经有8人回复