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Akang950710

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[交流] （6G ± 1）和（4G ± 1）型素源不同余定理，三元函数，素源平方根

作者：阿康

日期：2026年09月08日

素源理论

一、素源不同余定理

1. 化核系统：6G ± 1

设 N = 6G ± 1，G ≥ 1。

定理一：6G − 1 素数判定

对一切素数 5 ≤ p ≤ √(6G−1)：

G ≢ 6⁻¹ (mod p) ⟺ 6G − 1 是素数

等价地：

G ≡ 6⁻¹ (mod p) ⟹ 6G − 1 是合数

定理二：6G + 1 素数判定

对一切素数 5 ≤ p ≤ √(6G+1)：

G ≢ −6⁻¹ (mod p) ⟺ 6G + 1 是素数

等价地：

G ≡ −6⁻¹ (mod p) ⟹ 6G + 1 是合数

定理三：孪生素数判定

若对一切素数 5 ≤ p ≤ √(6G+1)，同时有：

G ≢ 6⁻¹ (mod p)

且：

G ≢ −6⁻¹ (mod p)

则：

6G − 1 和 6G + 1

都是素数，即为孪生素数。

定理四：否定排除定理若存在某个素数 p ≥ 5，使得：

G ≡ 6⁻¹ (mod p)

则 6G − 1 为合数。

若存在某个素数 p ≥ 5，使得：

G ≡ −6⁻¹ (mod p)

则 6G + 1 为合数。

2. K 系统：4G ± 1

设 N = 4G ± 1，G ≥ 1。

定理一：4G − 1 素数判定

对一切素数 3 ≤ p ≤ √(4G−1)：

G ≢ 4⁻¹ (mod p) ⟺ 4G − 1 是素数

定理二：4G + 1 素数判定

对一切素数 3 ≤ p ≤ √(4G+1)：

G ≢ −4⁻¹ (mod p) ⟺ 4G + 1 是素数

定理三：孪生核判定

若对一切素数 3 ≤ p ≤ √(4G+1)，同时有：

G ≢ 4⁻¹ (mod p)

且：

G ≢ −4⁻¹ (mod p)

则：

4G − 1 和 4G + 1

都是素数。定理四：否定排除定理

若存在某个素数 p ≥ 3，使得：

G ≡ 4⁻¹ (mod p)

则 4G − 1 为合数。

若存在某个素数 p ≥ 3，使得：

G ≡ −4⁻¹ (mod p)

则 4G + 1 为合数。

二、素源平方根：一元二次方程判别式

1. 化核系统：6G ± 1

对于 6G + 1

若：

6G + 1 = (6x + 1)(6y + 1)

则：

G = 6xy + x + y

令：

S = x + y

则 x, y 是方程：

t² − St + (G − S)/6 = 0

的根。

判别式：

Δ₊ = S² − (2/3)(G − S)

结论：

Δ₊ 为完全平方数 ⟺ 6G + 1 是合数对于 6G − 1

若：

6G − 1 = (6x + 1)(6y − 1)

则：

G = 6xy − x + y

令：

D = y − x

得方程：

6x² + 6Dx + (D − G) = 0

判别式：

Δ₋ = 12(3D² − 2D + 2G)

结论：

Δ₋ 为完全平方数 ⟺ 6G − 1 是合数

2. K 系统：4G ± 1

对于 4G + 1

若：

4G + 1 = (4x + 1)(4y + 1)

则：

G = 4xy + x + y

令：

S = x + y

方程：

t² − St + (G − S)/4 = 0判别式：

Δ₊ = S² + S − G

结论：

Δ₊ 为完全平方数 ⟺ 4G + 1 是合数

对于 4G − 1

若：

4G − 1 = (4x + 1)(4y − 1)

则：

G = 4xy − x + y

令：

D = y − x

方程：

4x² + 4Dx + (D − G) = 0

判别式：

Δ₋ = 16(D² − D + G)

结论：

Δ₋ 为完全平方数 ⟺ 4G − 1 是合数

三、三元函数：合数生成曲面

1. 化核系统：6G ± 1

定义三元函数：

Z₊⁶(x, y, ±) = 6xy ± (x + y)

Z₋⁶(x, y, ±) = 6xy ± (x − y)性质：

Z₊⁶ 有正整数解 ⟺ 6G + 1 是合数

Z₋⁶ 有正整数解 ⟺ 6G − 1 是合数

其中 G = Z。

2. K 系统：4G ± 1

定义三元函数：

Z₊⁴(x, y, ±) = 4xy ± (x + y)

Z₋⁴(x, y, ±) = 4xy ± (x − y)

性质：

Z₊⁴ 有正整数解 ⟺ 4G + 1 是合数

Z₋⁴ 有正整数解 ⟺ 4G − 1 是合数

四、统一总结

素源不同余定理：

6G − 1：G ≢ 6⁻¹ (mod p)

6G + 1：G ≢ −6⁻¹ (mod p)

4G − 1：G ≢ 4⁻¹ (mod p)

4G + 1：G ≢ −4⁻¹ (mod p)

素源平方根：

Δ 为完全平方数 ⟺ 合数

Δ 非完全平方数 ⟺ 素数

三元函数：

Z± = a·xy ± (x ± y)

a = 6 或 a = 4三者完全平行，共同构成素源理论的核心。

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