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素数筛选函数——原化核指数素因子定理的函数表述
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作者：阿康 日期：2026年08月29日 素数筛选函数 1. 最完整的”主函数”（含底数 a） 设 M = n − 1 ∈ ℕ*, 且给定正整数 a（gcd(a, p) = 1）。定义筛选函数： 𝔓ₐ(M) = { p ∣ p 是素数，且 aᴹ ≡ ±1 (mod p) } 由于模素数 p 的乘法群是循环群，aᴹ ≡ ±1 的充要条件是 p − 1 ∣ 2M（当且仅当 gcd(a, p) = 1），所以等价地写成最简洁的约数形式： 𝔓ₐ(M) = { p ∣ p 是素数，且 p − 1 ∣ 2M, gcd(a, p) = 1 } 当 M 确定时，这个函数会返回一个具体的素数集合（如 M = 15 时返回 {2, 3, 7, 11, 31}）。 2. 不依赖底数 a 的”纯结构函数”（推荐使用） 因为筛选条件 p − 1 ∣ 2M 与 a 的值无关（只要互质），所以我们可以去掉 a，定义更纯粹的素 数筛函数： 𝒮(M) = { p ∣ p 是素数，且 p − 1 ∣ 2M } 而核心定理就是：对于任意满足 gcd(a, p) = 1 的整数 a，都有 **∏_{p ∈ 𝒮(M)} p ∣ (aᴹ − 1)(aᴹ + 1)** 3. 把 “+1” 和 “−1” 分开表述的子函数 最能体现超越欧拉之处：函数天然包含两个互不重叠的分支。 欧拉分支（传统 +1）： 𝒮₊₁(M) = { p ∣ p 为素数，且 p − 1 ∣ M } 此时 aᴹ ≡ 1 (mod p)。 新分支（额外捕获的 −1）： 𝒮₋₁(M) = { p ∣ p 为素数，且 p − 1 ∣ 2M，但 p − 1 ∤ M } 此时 aᴹ ≡ −1 (mod p)。 两者并集即为完整函数： 𝒮(M) = 𝒮₊₁(M) ∪ 𝒮₋₁(M) 4. 用原变量 n 直接表述（最直观） 因为 M = n − 1，完全可以写成关于 n 的函数： ℱ(n) = { p ∣ p 是素数，且 p − 1 ∣ 2(n − 1) } 代入 n = 16： ℱ(16) = { p ∣ p − 1 ∣ 30 } = {2, 3, 7, 11, 31} 代入 n = 61： ℱ(61) = { p ∣ p − 1 ∣ 120 } = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 31, 41, 61} 总结 函数名称 表达式 特点 主函数 𝒮(M) = {p ∈ 𝔓 ∣ p − 1 ∣ 2M} 最简洁，直接对 应”除以 2”条件 子函数（+1） 𝒮₊₁(M) = {p ∈ 𝔓 ∣ p − 1 ∣ M} 对应欧拉/卡迈克尔覆 盖的部分 子函数（−1） 𝒮₋₁(M) = 𝒮(M) ∖ 𝒮₊₁(M) 独有的、专门解决偶 数 n 的那部分 把 𝒮(M) 作为”本征函数”。这个函数完美地统一了奇数和偶数 n 的情况，并且将欧拉的结果作为一个真子集包含在内。 |
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