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伽罗瓦理论与三等分角
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有《数学女孩5 伽罗瓦理论》一书，作者是日本作家结城浩 译者是陈冠贵 人民邮电出版社出版 【（P432） 伽罗瓦理论把数学以最美的形式展现给我们。】 【（P141）“哥哥，你知道三等分角问题吗？”】 【（P54）明白如何站在域的角度看方程了吗？】 【（P56）2.4.4 回家路上】 【（P56）我认为求根公式是用“系数表示解”。这并没有错。但是米嘉尔用域的观点，重新解读了求根公式。】 【（P56）域的角度...........我还不太理解。我知道这和强行解方程是不同的。】 【（P57）如果我能站在更宏观的角度，或许可以更深入地理解。】 【（P144）在数学上被认定为“不可能”，就代表它已经被证明，并不是努力就能推翻的。】 【（P162）“cos 丌 /9？ 那是什么？ ” （P162）“是cos 20°吧。”】 【（P164）5.4 .1看穿结构】 【（P164）cos20°=0.939 692 620 785 908 384 054 109 277 342 73……】 【（P164）我想知道的并不是具体数值。】 【（P164）我想知道的是，cos20°是否为规矩数，即对有理数重复进行加减乘除运算与开根号运算，能不能得到cos20°。】 【（P164）我想证明cos20°不是规矩数，为此我不能只关注数值，必须看穿cos20°所拥有的性质。对，我得用看穿结构的慧眼……】 【（P165）cos20°是何种方程的解？】 【（P165）无理数√2是x^2-2=0 这个方程的其中一个解， 】 【 （P166）我虽然不懂 cos 20°，但是很懂 cos 60°。cos60°是（ 1/2 ）。而cos 20°与cos60°是相关联的。】 【（P168） x^3-3x-1=0 这个三次方程有3个解，其中一个解是（2cos20°）。】 ****************************************************************************** 【（P169） x^3-3x-1=0 （60°的三等分方程）】 【（P169）我想证明这个方程没有规矩数的解。】 【（P169）要证明没有，一定得使用反证法吧。】 ***************************************************************************** 【（P172）虽然x^3-3x-1=0 没有有理数的解，但我不能说它没有规矩数的解。】 【（P173）假设只进行一次开根号运算的数为p+q√r】 【（P173）方程x^3-3x-1=0 有这种形式解p+q√r吗？】 【（P175）假设x^3-3x-1=0 在.........范围内有解，将这个解设为p+q√r∈ K（√r）】 【（P175）因为p+q√r是方程的解，】 【（P176）但是，要怎么引出矛盾呢？】 【（P177）若方程x³ - 3x - 1 = 0拥有p+q√r 这个解，】 【（P180）若p+q√r 为三等分方程x³ - 3x - 1 = 0的一个解】 【（P180）我正在使用反证法证明，所以应该将假设导向矛盾。】 ****************************************************************************** 【（P181）我知道了！】 【（P181）是根与系数的关系！】 【（P181）只要使用三次方程的“根与系数的关系”即可！】 ****************************************************************************** 【（P182）因此反证法的假设不成立。】 【（P183）方程x^3-3x-1=0 】 【（P183）总之，这个方程（x^3-3x-1=0 ----注）从有理数开始，没有重复有限次加减乘除运算与开根号运算后能得到的解。换句话说，它没有规矩数的解。证明完成！】 【（P184）cos 20°不是规矩数。】 【（P184）太棒了！我终于证明了三等分角问题！】 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 【（P245）我们的目的是得到三次方程的求根公式。方程的求根公式就是从系数得到解，也就是用系数来表示解。】 （P438） 尾声 cos 2丌 /17 =-（1/16）+(√17)/16+√{2(17-“√17”)}/16+2/16√{17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)} 【(34-2√17)=2(17-“√17”)】 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ （cos 2丌 /17 与正十七边形相关。） （cos 2丌 /18=cos 20°与正十八边形相关） 书中日本作家结城浩将设定的 p+q√r 数学结构为依据，通过“反证法”，证明了“三等分角问题”。 “cos 20°不是规矩数”的“数学结构”是什么？日本作家结城浩“用看穿结构的慧眼”的回答是：“（P166）我虽然不懂 cos 20°”！！！ 所以，cos 20°是一个神秘的数。 |
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下面是数学课中，数学老师应该不会提到的内容。 因为数学老师可能说的是：“三等分角问题已经解决了，这已经是成为‘定论’了的数学内容。” ************************************************************************ 有： 【三倍角公式 cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】 三倍角公式与三等分角问题的讨论有关联。 三等分角的讨论把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。（-1≤ cosθ≤1） ************************************************************************ 也有： 【二倍角公式 cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1】 二倍角公式与二等分角问题的讨论也应该有关联。 在二等分角的讨论中，因为几何证明了可以尺规二等分一任意角。（这是中学生都有能力操作证明的） 二等分角的讨论不可能把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。 并且，“ cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1”中的cosθ就是规矩数（作图可能数）。（-1≤ cosθ≤1） ############################################################## 需要讨论的是： cosθ应该就是规矩数（作图可能数）呢？ cosθ还是应该分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类呢？ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 所以，三等分角的讨论还没有可以结束的可能。并且，三等分角的讨论还会冲击相应的数学基础。 |
2楼2025-12-25 14:10:35