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伽罗瓦理论与三等分角
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有《数学女孩5 伽罗瓦理论》一书，作者是日本作家结城浩 译者是陈冠贵 人民邮电出版社出版 【（P432） 伽罗瓦理论把数学以最美的形式展现给我们。】 【（P141）“哥哥，你知道三等分角问题吗？”】 【（P54）明白如何站在域的角度看方程了吗？】 【（P56）2.4.4 回家路上】 【（P56）我认为求根公式是用“系数表示解”。这并没有错。但是米嘉尔用域的观点，重新解读了求根公式。】 【（P56）域的角度...........我还不太理解。我知道这和强行解方程是不同的。】 【（P57）如果我能站在更宏观的角度，或许可以更深入地理解。】 【（P144）在数学上被认定为“不可能”，就代表它已经被证明，并不是努力就能推翻的。】 【（P162）“cos 丌 /9？ 那是什么？ ” （P162）“是cos 20°吧。”】 【（P164）5.4 .1看穿结构】 【（P164）cos20°=0.939 692 620 785 908 384 054 109 277 342 73……】 【（P164）我想知道的并不是具体数值。】 【（P164）我想知道的是，cos20°是否为规矩数，即对有理数重复进行加减乘除运算与开根号运算，能不能得到cos20°。】 【（P164）我想证明cos20°不是规矩数，为此我不能只关注数值，必须看穿cos20°所拥有的性质。对，我得用看穿结构的慧眼……】 【（P165）cos20°是何种方程的解？】 【（P165）无理数√2是x^2-2=0 这个方程的其中一个解， 】 【 （P166）我虽然不懂 cos 20°，但是很懂 cos 60°。cos60°是（ 1/2 ）。而cos 20°与cos60°是相关联的。】 【（P168） x^3-3x-1=0 这个三次方程有3个解，其中一个解是（2cos20°）。】 ****************************************************************************** 【（P169） x^3-3x-1=0 （60°的三等分方程）】 【（P169）我想证明这个方程没有规矩数的解。】 【（P169）要证明没有，一定得使用反证法吧。】 ***************************************************************************** 【（P172）虽然x^3-3x-1=0 没有有理数的解，但我不能说它没有规矩数的解。】 【（P173）假设只进行一次开根号运算的数为p+q√r】 【（P173）方程x^3-3x-1=0 有这种形式解p+q√r吗？】 【（P175）假设x^3-3x-1=0 在.........范围内有解，将这个解设为p+q√r∈ K（√r）】 【（P175）因为p+q√r是方程的解，】 【（P176）但是，要怎么引出矛盾呢？】 【（P177）若方程x³ - 3x - 1 = 0拥有p+q√r 这个解，】 【（P180）若p+q√r 为三等分方程x³ - 3x - 1 = 0的一个解】 【（P180）我正在使用反证法证明，所以应该将假设导向矛盾。】 ****************************************************************************** 【（P181）我知道了！】 【（P181）是根与系数的关系！】 【（P181）只要使用三次方程的“根与系数的关系”即可！】 ****************************************************************************** 【（P182）因此反证法的假设不成立。】 【（P183）方程x^3-3x-1=0 】 【（P183）总之，这个方程（x^3-3x-1=0 ----注）从有理数开始，没有重复有限次加减乘除运算与开根号运算后能得到的解。换句话说，它没有规矩数的解。证明完成！】 【（P184）cos 20°不是规矩数。】 【（P184）太棒了！我终于证明了三等分角问题！】 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 【（P245）我们的目的是得到三次方程的求根公式。方程的求根公式就是从系数得到解，也就是用系数来表示解。】 （P438） 尾声 cos 2丌 /17 =-（1/16）+(√17)/16+√{2(17-“√17”)}/16+2/16√{17+3√17-√(34-2√17)-2√(34+2√17)} 【(34-2√17)=2(17-“√17”)】 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ （cos 2丌 /17 与正十七边形相关。） （cos 2丌 /18=cos 20°与正十八边形相关） 书中日本作家结城浩将设定的 p+q√r 数学结构为依据，通过“反证法”，证明了“三等分角问题”。 “cos 20°不是规矩数”的“数学结构”是什么？日本作家结城浩“用看穿结构的慧眼”的回答是：“（P166）我虽然不懂 cos 20°”！！！ 所以，cos 20°是一个神秘的数。 |
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下面是数学课中，数学老师应该不会提到的内容。 因为数学老师可能说的是：“三等分角问题已经解决了，这已经是成为‘定论’了的数学内容。” ************************************************************************ 有： 【三倍角公式 cos(3θ) = 4( cosθ )^3-3( cosθ)】 三倍角公式与三等分角问题的讨论有关联。 三等分角的讨论把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。（-1≤ cosθ≤1） ************************************************************************ 也有： 【二倍角公式 cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1】 二倍角公式与二等分角问题的讨论也应该有关联。 在二等分角的讨论中，因为几何证明了可以尺规二等分一任意角。（这是中学生都有能力操作证明的） 二等分角的讨论不可能把数cosθ分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类。 并且，“ cos(2θ) = 2( cosθ )^2-1”中的cosθ就是规矩数（作图可能数）。（-1≤ cosθ≤1） ############################################################## 需要讨论的是： cosθ应该就是规矩数（作图可能数）呢？ cosθ还是应该分成规矩数（作图可能数）和“不是规矩数”（不是作图可能数）两类呢？ @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 所以，三等分角的讨论还没有可以结束的可能。并且，三等分角的讨论还会冲击相应的数学基础。 |
2楼2025-12-25 14:10:35
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有《数学之美》一书，作者是邵勇 北京大学出版社出版 （P279） 菲利克斯·克莱因（1849——1925）在总结前人研究成果的基础上，于1895年的一篇论文中，给出了几何三大作图问题不可能用尺规来实现的简明证法，从而使这三个延续了两千多年的问题尘埃落定。于是后人便把这三个问题称为三大尺规作图不能问题，即加了“不能”两字。 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 有《初等几何的著名问题》一书，作者是Felix Kiein 译者是沈一兵 高等教育出版社出版 【前言】 【由现代数学发展起来的更精确定义和更严格证明方法，在中学教师看来，既深奥难懂又极其抽象，因而只对少数专家来说有意义。为了应对这种倾向，..............在一系列讲座中，向比以往更多的听众讲解了现代科学如何看待初等几何作图的可能性。】 【F·KLEIN】【Göttingen 1895年 复活节】 ***************************************************************************************** （P11）【倍立方问题】 （P11）【该问题的方程显然是 x^3=2】 （P11）【在x^3=2的情况，我们涉及的是数量，考虑的问题是³√2能否取有理数值】 ***************************************************************************************** （P12）【方程 x^3=cosΦ+isinΦ】 的根是 x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3） （P13） x₂ =cos（“Φ+2π”/3）+isin（“Φ+2π”/3） （P13） x₃=cos（“Φ+4π”/3）+isin（“Φ+4π”/3） &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （P13）【方程 x^3=cosΦ+isinΦ】是三等分角问题的解析表达式。 （P13）【根x₁，x₂，x₃被作了循环置换】 （P13） 【角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出。】 @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@ 作为比较。 在倍立方问题上，菲利克斯·克莱因告诉了人们： 方程 x^3=2中，x^3有2这样的数学结构。并且在“考虑的问题是³√2能否取有理数值”中，以³√2这样的数学结构参与了尺规作图是否可能的讨论。 在三等分角问题的讨论中，菲利克斯·克莱因告诉人们的是： 方程 x^3=cosΦ+isinΦ和“根x₁，x₂，x₃被作了循环置换”。 方程 x^3=cosΦ+isinΦ中的根 x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）以什么样的数学结构去参与尺规作图是否可能的讨论，菲利克斯·克莱因没有告诉人们。 所以，根 x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）是一个神秘的数。 菲利克斯·克莱因以一个神秘的数 x₁=cos（Φ/3）+isin（Φ/3）为依据，“更严格证明”了“角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出”。 从1895年到如今，一群人，以神秘的数为依据，“更严格证明”了“角的三等分不可能仅用直尺和圆规来作出”。 关心三等分角的讨论，找出当今需要的数学基础内容，改变相应的数学教材。 |
3楼2026-03-08 13:54:54
