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要解决这个问题，我们首先需要明确题目所给的概率密度函数，并计算条件期望 \(\mathbb{E}(X + Y \mid X < Y)\)。
题目给出的联合概率密度函数为：
\[ p_{X,Y}(x,y) =
\begin{cases}
e^{-x-y} & \text{if } x > 0, y > 0 \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}
\]
我们需要计算的条件期望是 \(\mathbb{E}(X + Y \mid X < Y)\)。
首先，确定条件概率密度函数 \( p_{X,Y \mid X < Y}(x,y) \)。
\[ p_{X,Y \mid X < Y}(x,y) = \frac{p_{X,Y}(x,y) \cdot I(x < y)}{\mathbb{P}(X < Y)} \]
其中 \( I(x < y) \) 是指示函数，表示 \( x < y \) 时为1，否则为0。
计算 \( \mathbb{P}(X < Y) \)：
\[ \mathbb{P}(X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} e^{-x-y} \, dx \, dy \]
首先计算内积分：
\[ \int_{0}^{y} e^{-x-y} \, dx = e^{-y} \int_{0}^{y} e^{-x} \, dx = e^{-y} \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{y} = e^{-y} \left( 1 - e^{-y} \right) \]
然后计算外积分：
\[ \mathbb{P}(X < Y) = \int_{0}^{\infty} e^{-y} \left( 1 - e^{-y} \right) \, dy \]
将 \( 1 - e^{-y} \) 分成两个积分：
\[ \mathbb{P}(X < Y) = \int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy - \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy \]
这两个积分都是标准的指数积分：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy = 1 \]
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy = \frac{1}{2} \]
所以：
\[ \mathbb{P}(X < Y) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]
因此条件概率密度函数为：
\[ p_{X,Y \mid X < Y}(x,y) = 2 e^{-x-y} \cdot I(x < y) \]
接下来我们计算条件期望：
\[ \mathbb{E}(X + Y \mid X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} (x + y) \cdot 2 e^{-x-y} \, dx \, dy \]
将期望分成两个积分：
\[ \mathbb{E}(X + Y \mid X < Y) = 2 \left( \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} x e^{-x-y} \, dx \, dy + \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} y e^{-x-y} \, dx \, dy \right) \]
首先计算第一个积分：
\[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} x e^{-x-y} \, dx \, dy \]
计算内积分：
\[ \int_{0}^{y} x e^{-x} e^{-y} \, dx = e^{-y} \int_{0}^{y} x e^{-x} \, dx \]
使用分部积分法：
\[ \int x e^{-x} \, dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} \, dx = -x e^{-x} - e^{-x} = -e^{-x}(x + 1) \]
带入积分范围：
\[ \int_{0}^{y} x e^{-x} \, dx = -e^{-x}(x + 1) \Bigg|_{0}^{y} = -e^{-y}(y + 1) + 1 \]
所以：
\[ \int_{0}^{y} x e^{-x} \, dx = 1 - e^{-y}(y + 1) \]
外积分：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-y} (1 - e^{-y}(y + 1)) \, dy \]
分开计算：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-y} \, dy - \int_{0}^{\infty} e^{-2y}(y + 1) \, dy \]
\[ = 1 - \left( \int_{0}^{\infty} y e^{-2y} \, dy + \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy \right) \]
第二个积分我们已经计算过了，为 \(\frac{1}{2}\)，所以计算第一个积分：
\[ \int_{0}^{\infty} y e^{-2y} \, dy = \frac{1}{4} \]
总的结果是：
\[ \int_{0}^{\infty} y e^{-2y} \, dy + \int_{0}^{\infty} e^{-2y} \, dy = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]
所以：
\[ \int_{0}^{\infty} e^{-y} (1 - e^{-y}(y + 1)) \, dy = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]
然后计算第二个积分：
\[ \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} y e^{-x-y} \, dx \, dy = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \left( \int_{0}^{y} e^{-x} \, dx \right) \, dy \]
\[ = \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \left( 1 - e^{-y} \right) \, dy \]
同样分开计算：
\[ \int_{0}^{\infty} y e^{-y} \, dy - \int_{0}^{\infty} y e^{-2y} \, dy \]
第一个积分 \(\int_{0}^{\infty} y e^{-y} \, dy = 1\)，第二个积分我们已经计算过了，为 \(\frac{1}{4}\)，所以总的结果是：
\[ \int_{0}^{\infty} y e^{-y} (1 - e^{-y}) \, dy = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
所以：
\[ \mathbb{E}(X + Y \mid X < Y) = 2 \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \right) = 2 \]
答案是：
\[ \mathbb{E}(X + Y \mid X < Y) = 2 \] |
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