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【转帖】谈分析能力
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本文转自博士家园数学论坛www.bossh.net原作者：SCIbird 首先,我们要端正一个态度,即对于一个定理或一个问题,我们不应该用做考试题的态度来对待,而应该用研究数学问题的态度来对待.尽量挖掘出新的东西,而不局限于问题中的结论本身.具体说来,如下: 研究问题,笼统说多是关于存在性,唯一性,条件充不充分,必不必要,有无充要条件等等. 这些泛泛的说法大家也许都知道,也有道理,不过就是不知道具体该怎样做.下面我就详细说下这些年自己的心得体会,以供参考. 1.以几何直观做启发,大胆想象,严密论证. 分析界目前有这种不好的倾向,认为几何直观不严密,于是排斥几何直观而代之以抽象的分析论证,有的书上甚至一张图都没有.诚然,大学数学的一个特点是高度抽象性,而且几何直观确实不能代替严密的证明.但一味的强调抽象性,容易迷失方向,尤其是初学者,往往一头雾水,不知所云.其实,几何直观对许多分析定理有启发作用.很多定理可以从几何直观中观察出来,加以提炼,最后严格证明而上升为定理.举个例子:考虑费马引理,即可导函数的极值点处导数值为0.几何直观上,一个可导函数在极值点处的切线应该是水平的,而且似乎不一定要求导函数连续,然后通过分析严格证明我们的猜想. 但是,问题就结束了吗? 我们能不能走的远点,上面说可导函数极值点导数为0,那么我们可以问导数为0是否就是极值点?什么时候有极值点? 前一个问题是否定的,导数为0点未必就是极值点. 至于后一个问题,条件可能不止一个.其中有一个比较特殊,我们知道闭区间上的连续函数必有最大值和最小值.而对于非常数函数,如果最值在区间内部取得,它也是极值,如果f可导,则f'(x0)=0.于是我们转到什么时候可以有内部最值(也是极值).一个条件是非常数可导函数的两端点相等,则区间内部必有最值点,因而有内点x0满足f'(x0)=0,于是就有了罗尔定理.我们又问了,这个条件必要吗?可以举出反例,这说明罗尔定理的条件只是充分条件. 类似的几何直观还很多,比如把图象旋转一下,罗尔定理就变成了拉格朗日定理,如果用参数形式表示拉格朗日定理,则就变成了柯西定理.当然,以上只是从几何直观做出的猜想,接下来必须严格的给予证明. 2.可以从多角度思考问题. 我们解决了一个好的问题后,不必立刻走开.可以再挖掘一下,看有没有新的发现比如我把条件和结论对调一下,结论还成立吗?原题条件是P1,我换个条件P2,结论还成立吗? 或者说,若不满足条件P1,结论还成立吗? 原问题条件太苛刻了,我削弱一下条件,结论成立否.原问题是3维的,换成n维情况还成立吗? 原问题要求函数f连续,我换成Riemann可积后,结论如何? 或者说原问题是与三角函数(涉及周期性)有关,我换成一般的周期函数后,结论如何? 或者说原命题是否有推广的可能. 举两个例子,比如关于积分号下取极限(or积分运算与极限过程互换),通常要求是一致收敛.但一致收敛这个条件太强了,能否换成更一般的条件.于是阿尔泽拉定理就出现了,其用一致有界和点态收敛条件来替换一致收敛.(可参考南开数学分析or谢惠民的书or微积分学教程) 所谓阿尔泽拉定理(也称为Riemann积分理论中的控制收敛定理)是如下形式: 所谓一致有界,即存在正数M>0,使得任取n,x∈[a,b]有|fn(x)|<=M.阿尔泽拉定理断言只需要可积函数列fn(x)点点收敛,即fn(x)→f(x),和一致有界, 及f(x)Riemann可积,便能推出 lim ∫[a,b]fn(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx (极限运算与积分运算交顺序) 熟悉Lebesgue积分的朋友们会发现,此定理就是实变中Lebesgue控制收敛定理的特例.相比之下多出的条件是要求"f(x)Riemann可积",这是因为极限函数未必是Riemann可积的.这一要求在Lebesgue积分理论中可以去掉,因为可测函数的极限也是可测函数.(这从某个角度表现了L积分相对于R积分的优越性). 其实从实变角度考察数分会有新的收获的,比如:揭示点态收敛与一致收敛之间关系的叶果洛夫定理. 另一个例子,我想举下傅立叶级数理论中的Riemann引理,即傅立叶系数趋于0的推广形式, 为 ∫f(x)sin(λx)dx=0,当λ→∞时. 我们可以猜想,如果我们用更一般的周期函数g(x)来代替sinx,结果如何, 即∫[a,b]f(x)g(λx)dx → 1/T ∫[0,T]g(λx)dx∫[a,b]f(x)dx (T为g(x)的周期) 这就是后来称为Riemann-Lebesgue引理的东西.08年北大的第9题考察的就是这个推广后的Riemann-Lebesgue引理.(简单情况可以取λ=n) 其实,傅立叶级数有许多精彩的理论,大家可以尝试用一般的周期函数代替三角函数推广下.(这种推广不一定都行的通,只是提供一种可能的思路) 3.勤动手算,勤动手推导,在算例中发现规律. 目前有一个糟糕的现象,工科的生偏爱计算,见到证明题就头大;数学系的偏爱证明,对计算不屑.其结果是走两个极端,工科的证明水平比较低,数学系的计算能力比较差.记得上研究生数值分析A时,身边一个mm抱怨老师"讲那么多理论干嘛,只要告诉我怎么算就行了",而且很理直气壮,很强大.(听的我直冒汗) . 又惊闻某实验班学数学分析,结果有的学生算个定积分做不出来.我觉得十分有必要扭转这种不好的现象.证明和计算是统一的,而不应该人为的割裂开. 很多数学定理的发现或者证明确实是算出来的,即便将来打算搞基础数学,适当加强自己计算能力也是有好处的.有些东西你不亲自动手算算,你是看不出规律的.你不积累,如何爆发! 回顾历史,许多大数学家都是擅长计算的,比如偶的偶像Gauss吧,后半辈子在搞天文.那时没计算机,基本靠手算.天文数字,很好算吗? 不过后人整理Gauss的手稿时,发现他很少有算错的.Gauss自己说过他当初如何发现被后人称为"素数定理"的东西,他说他当时计算了3000000以内(好像是这个数,记不清了)的所有素数,然后猜出来的结果. 素数定理:记π(x)表示不超过x的素数的个数,Gauss猜想 lim π(x) / (x/ ln x) = 1. 这个定理是渐进(x→+∞)意义下的,近似程度不是很高(不实用).我们一方面惊叹Gauss惊人的洞察力的同时,还需要看到:如果不是Gauss事先计算了大量的素数,他也不可能发现观察出素数分布频率来. 再举个大家熟悉的例子,比如微分学中两个函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式.这个公式证明不是很复杂,结论也不是很难记.不知大家有没有算过? 对uv求n阶导数(uv)^(n):首先,我们知道 (uv)'=u'v+uv',反复应用这个公式就能求出任意阶导数.如果你有耐心,计算次数比较多(如3次,4次,5次.....),合并结果中的同类项后,你会发现两个规律.(1)各项系数是二项式系数(or杨辉三角);(2)u,v导数阶数之和都为n. 如果你记忆力足够好或高中学的扎实,你会立刻发现这很像二项式展开式.so 你可以大胆的猜想结果是 (uv)^(n)= ∑C_n^k u^(k)v^(n-k), C_n^k为二项式系数. 这就是后来的莱布尼茨的公式.然后你可以尝试用数学归纳法严格证明它. 并不是所有的数学定理都隐藏的很深,很难发现规律.数学有时候也很简单. 接着说点Lebesgue积分理论心得吧. <可测函数> 我们的目标是研究积分,当然要研究那些能"围出"面积(测度)的积分了,这样就自然走到了可测函数这块.其实,实变并不那么玄乎,关键在于你能否抓住主线.英国著名数学家Littlewood曾经提出了实变函数论中有名的"小木头三原理", 直观上,大致内容如下: 1).测度与有限个区间的并集相差不多;(外测度定义,L测度是外测度的子集) 2).可测函数与连续函数相差不多;(鲁津定理) 3).一致收敛与点点收敛相差不多.(叶果洛夫定理) 注意,上面的三原理中"与"字右边的都是数分中我们熟悉的东西.如果我们承认这三个基本原理,确实实变中不少结论可由"小木头三原理"推出来.其中最有用的恐怕要属叶果洛夫定理了,因为数分中关于一致收敛有很多结论的,而叶果洛夫定理中那个测度任意小的集合(不一致收敛的点的集合)在积分理论中可以控制(积分值可以任意小). 当然可测函数这里还有其他的定理,就不多说了. 这才是我最感兴趣的地方.熟悉Riemann积分的知道,Riemann积分研究的函数变化不能太剧烈,连续性得比较好.我们研究Riemann积分是分定义域,而Lebesgue积分是分值域(以克服函数变化剧烈造成的困难).可是后者我们在效仿Riemann和时会发现y_i到y_{i+1}对应的x的集合,可能不是一些区间,可能是一些点集,可能很复杂.幸亏我们有测度(可测集可以为一些点集),以前我们只能在区间上积分(or约当可测集上),现在我们可以在L可测集上积分.当然可能会有一些很bt的积分出现,这是数分中没有的.Lebesgue积分的一个很NB的性质是它与Riemann积分兼容,即凡是Riemann可积函数必Lebesgue可积,而且积分值相等. Lebesgue积分的好处不仅仅是扩大了可积函数范围,它放宽了许多极限条件.这可从Lebesgue控制收敛定理,列维定理,法图定理等看出. 有意思的是: Lebesgue控制收敛定理 对应着数分中的 阿尔泽拉定理 列维定理 对应着数分中的 迪尼定理 通过对比,即方便记忆,又加深了理解. 至于后面的微分与不定积分可看作是数分的深化: 我们常见的函数多数都能写成分段单调形式,从实变角度通过对单调函数的研究,得到了许多深刻的结论.而对有界变差函数和绝对连续函数的研究在某种程度上解决了许多微积分上的基本问题.如曲线可求长,NL公式的应用等等. 而L^2理论可以与数分中Fourier级数理论紧密联系,进而有许多深刻的结论,如:L^2中的Fourier级数几乎处处收敛等,进而连续函数的Fourier级数几乎处处收敛. 4.注重一题多解. 与前面不同的是,这里我们不是从老问题中挖掘出新问题,而是考虑使用多种不同的方法来证明问题,或者说一题多解.在我看来:一种观点,一个概念,一种方法等,这都是数学思想.不同的方法体现了不同的数学思想.我们每看到一种新的方法,都要学会从中吸收对自己有用的东西.这里我特别要提醒大家的是,对于一个问题,不要只看简洁的方法,而方法长了,繁琐了,就不看了.要知道简洁不代表深刻,有的方法很长,但可能是更一般或典型的方法,有的方法很短,但也许只针对这道题有效(有的竞赛题就是这样),不具有一般性. 大数学家Gauss就特别重视一题多解,他一生中给出了代数基本定理的4个不同的证明,这四个证明风格不同很有特色.我在论坛上发过"SCIbird搜集的分析中的几个大问题"那帖子里给出了其中的两个.古语有云"温故而知新",学数学不是模特走秀,一味的追求最新,赶时髦,弄不好就把自己变成空中楼阁.想想"大跃进"的惨痛教训!数学中一些宝贵的思想是有传承性的,她不会随着时间而磨灭.一时的新颖,时髦,有可能如烟花一般,短暂的绚丽过后,便是消亡. 这里我想说下"维尔斯特拉斯"的那个有名的逼近定理:即闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近.这一定理十分重要而有用,一般数分教材上都有,多数书上都转引伯恩斯坦那个初等证明,他构造了一个叫伯恩斯坦多项式的东西,然后证明它一致收敛于连续函数.这一构造性的证明十分巧妙,堪称神来之笔!至于是如何想出来的,可参看托德的<函数构造论导引>,或者是"SCIbird搜集的分析中的几个大问题"这个帖子. 不过<数学分析新讲>第三册里给出的另外两个证明,也很巧妙!而且更深刻!其中一个证明思路是这样的:先证明y=|x|可由多项式一致逼近,再证明折线函数(|x|的某种变形和组合)可由多项式一致逼近,最后证明连续函数可由折线函数一致逼近,进而证明了闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近. 思路清晰自然,而且体现了分析中的核心思想-----逼近思想.事实上,分析中的许多定理,都是用简单情形来逼近复杂情形这种思路来证明的. 新讲中还给出了,另外的一种证明-----核函数法.看过Fourier级数收敛性证明的人应该对于核函数法不陌生,那里讨论Fourier级数前n项和时,出现了一个叫狄利克雷核的东西(Dn(t)),然后把Fourier级数前n项和化成一个积分,对收敛性只需讨论n趋近于无穷时积分的变化.后面讨论费歇求和法时还出现了费歇核.学过数理方程的人也许还记得再求解Laplace方程时,出现了泊松积分(泊松核).总之与核函数有关的积分核是现代数学的一个重要思想. 上面说的可能深了点儿, 再说个简单的一题多解的例子吧. 求极限!想想求极限的各种不同的方法.罗必达法则,施乌兹定理,泰勒展开,视作某幂级数的系数等等.这些方法每个都有其特点,可以说是百家争鸣!这些内容初学数分的人未必都能再同一时间内碰到,但你学完数分之后却需要把这些零散的求极限方法整理归纳下,你会有一个全新的整体的认识. （未完待续） 5.重视练习自己的举反例能力,平时多看些数学上有名的反例. 为什么提出这一点呢? 因为这是数学的一个重要组成部分.真正做研究时,你碰到一个数学问题,你就要考虑是证明它,还是构造一个反例否定它.坦白说,举反例是中国数学教学的一个薄弱环节,有的学生几乎都没有举反例这个概念.因为我们平常都是做别人设计好的问题,而不是自己发现问题,解决问题.当你证明一个问题百思不得其解时,你就应该考虑是不是造一个反例否定它.不要以为这题是来自XX书后习题,或是XX大学真题,就一定正确.数学是拿证明说话的,不是看你是哪来的.关键时刻要胆子大些,数学证明才是终极法官! 中国传统的教育模式导致学生思维特点是方向单一,大家总爱从正面考虑问题,而构造反例所采用的思维一般比较怪异.受传统影响我们总觉得怪异的东西不好,甚至排挤它.但数学是不以我们的意志为转移的,不论你觉得它怪异与否,它确实是客观存在的.写到这我想把话题写远一些,谈谈数学中的"怪招"! 如果我们仔细分析过一些天才数学大师的证明,看过关于他们的一些成长故事,你会发现大师们的思维有一个特点,那就是所谓的"不走寻常路!" 有一个关于Gauss的传说,说他小时候上小学,有一天老师不知什么原因很生气,后果很严重.这位老师出了一道比较bt的算术题, 1+2+3+……+99+100 = ? 这题如果不限时间的话,不是很难,就是数太多,而且中间容易算错. 一般人做此题就是,一项挨一项的硬算.如果你计算能力强,还很有耐心,那么坚持到底还是有希望的.但Gauss就独辟蹊径,他观察到(就是倒排相加法) 1 2 3 4 ...... 99 100 100 99 98 97 ...... 2 1 同一列之和都是101 101 101 101 101 ..... 101 101 总共有100个,而且倒排后和不变, 这样1+2+3+……+99+100 = 101×100÷2 = 5050. 这种后来被称之为"倒排相加法"的方法是求等差数列和的典型方法. 我们还可以思维再发散下,用几何方法来求解上面的算术问题.考虑下面的"阶梯图形",用"×"表示单位正方形. × ×× ××× ×××× .......... ×××......×× 其中第k层恰有k个单位正方形"×",共100层.容易看出1+2+3+……+99+100 = "×"的个数 = 阶梯图形的面积. 从阶梯图形的左上角到右下角连一条主对角线,刚好把图形分成一个大的等腰直角三角形和100个小的等腰直角三角形,而我们是知道等腰直角三角形的面积公式的,于是因为原图形被分割成了一个100×100的大等腰直角三角形,和100个1×1小等腰直角三角形. 所以 1+2+3+……+99+100 = 阶梯图形面积 = 100×100÷2 + 1×1÷2×100 = 5050 ! 当然,如果如果把阶梯图形看成一个残缺的图形,而假设把它的另一半补全(拼成一个矩形).这与Gauss那个倒排相加法本质一样. 类似的思维方式还是很多的,比如"逆向思维",如司马光砸缸的故事;"联想思维",如上面那个阶梯图形的例子.要想学好数学必须使自己的思维活跃起来,这样才能提高创造性.但切忌:不要把自己变成"诡辩论者"或"常有理".学数学不能图一时口舌之快,那样最终吃亏的还是你自己. |
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木虫 (正式写手)
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wuguocheng(金币+2,VIP+0): 谢谢转帖 10-11 09:30
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上面说了半天似乎有点跑题了,还是回到反例上来吧.其实反例能帮我们澄清许多似是而非的事情,加深我们对概念的理解,也从某种程度上促进数学的完善.我为什么建议数学上有名的反例,因为这些反例不好想,而且我们在分析反例的过程中会学到新的思想,也多学一招. 历史上反例的一个经典代表例子是维尔斯特拉斯构造的那个处处连续处处不可导的函数,此前大多数数学家相信连续函数在绝大部分点是可导的.后来人们利用泛函分析中的贝尔纲定理证明了处处连续处处不可导的函数(第二纲集)比可导函数多的多,这又是一个令人惊奇的事情.数学总是充满着惊奇!我们在惊讶的同时别忘了把他们的证明方法学来. 顺便说下,处处连续处处不可导的函数f(x)也是一个无处单调的连续函数.证明很简单,反证法假设f(x)在一个小区间上单调,而由实变函数中的Lebesgue定理知"单调函数是几乎处处可导的",这就产生了矛盾! 事实上,有人估计人们之所以认为续函数在绝大部分点是可导的,多半受直观的误导,因为人们通常想象的函数都是分段单调的.在分形几何中有一种很漂亮的曲线叫"雪花曲线"(也称科赫曲线),这条曲线也是处处连续处处不可导的.有兴趣的人可以在网上搜一艘. 6.见多识广,博览百家之长! 我见过这样一些人学数学,他们认为学数学就是玩技巧和拼智商.如果被某个问题卡住了,就认为自己脑子不好使,没想到"那个技巧"(真的是技巧的原因吗?).从来不肯承认(包括潜意识的)问题不会可能因为自己知识的"贫乏".这样的人学数学,多半是闭门造车就着一本书不放手,其它参考书不去看.结果可能这样,例如:我在我们学校数分考了90+(百分制),做北大题怎么连题都看不懂啊,150分最多也就能得到50分.于是类似北大题技巧性太强了这样的抽象难度论就出现了. 数学考试与数学研究的区别是,前者限制时间,比的是思维的敏捷.后者一般不限制时间,而且允许你查阅文献,比的是深刻!搞数学早已进入"现代"了,不是武侠中那种不管外事,闭门修炼,单打独斗的时代了.名校里讲课,好的老师一般会挑一本适当的书作为教材,然后指定了若干本同类参考书,并且告诉你如果想学好这一门课,只看教材是远远不够的.对每个人来说时间都是有限的,谁也不可能把每门课都精通了,能精通两三门就不错了.大家仔细观察一下会发现,数学高手的一个特点是见多识广,不少大师都在数学的好几个分支里有建树,可谓全能型高手.学数学此路不通,可另寻别路.但前提是你知道的知识要多,比如你只会数学分析,那么你被一道分析难题卡住了,你就只能继续用分析的方法试.对于高手,他可能会考虑代数,几何,拓扑等方法.在数学中,许多著名定理的解决往往是不同分支共同作用的结果.这里我想举的20世纪数学中的一个大名鼎鼎的定理------Atiyah-Singer指标定理. 关于Atiyah-Singer指标定理,用白话说是:解析指标 = 拓扑指标. 现在,定理本身有许多种表现形式,而且做了推广.我所知道的一种比较原始的简单形式如下: dim kerD - dim cokerD = ∫_{T^*M}Ch(σ(D))∧Td(M)----- (*) 这里M是一个紧致光滑的可定向黎曼流形, D是椭圆微分算子.(*)式左边是解析指标(学过泛函的应该不会陌生,在Fredholm理论里定义过); (*)式右边是拓扑指标,用上同调形式给出,很复杂.大意是说陈类与托德类作用,然后在余切从上做积分. Atiyah-Singer指标定理把解析量与拓扑量这两个看起来毫不相干的东西联系起来,而且该定理还能把其它的一些NB定理统一起来,做为它的特例. 实际上Atiyah-Singer指标定理,告诉我们两件事:1)解析指标(与D有关)是一个拓扑不变量;2)如何计算出解析指标.熟悉指标定理的人可能知道,关于 dim kerD - dim cokerD 与D的选取无关这一事实早就被盖尔芳德所发现,dim kerD 和 dim cokerD 单拿出来都与D有关,但它们的差却与D无关,是一个拓扑不变量!这是一个惊人的结论!可是dim kerD 和 dim cokerD 形式上虽然简单,但对一般的D却很难算出来.盖尔芳德虽然知道了dim kerD - dim cokerD 是一个拓扑不变量,但却不知道具体怎么算出来. 分析的道路看来是走不通了,那么是否可以从其它道路来解决呢?可以!Atiyah后来给出了如何计算拓扑指标的方法(一种情形可参看(*)式),证明了Atiyah-Singer指标定理. 回头再看看(*)式,解析指标虽然简单,却很难求出;拓扑指标虽然复杂,却能够算出来.这也从哲学上引发我们的沉思.(当然复杂是相对的,对数学家来讲,计算拓扑指标不是难事.) 这件事给我们的启迪是,要解决一个领域内的难题,仅有本领域的知识是不够的,见多识广,才能独辟蹊径,柳暗花明! [ Last edited by formleaf on 2009-11-2 at 08:09 ] |
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