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随机特征方法 RFM：AI for PDE 的技术路线上可能不⽌有 PINN
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求解 偏微分方程（partial differential equation, pde）是科学计算领域最重要的课题之一，也是计算机辅助工程（computer-aided engineering, cae）软件的核心要素。为求解 pde，有限差分方法、有限元方法、谱方法等经典数值方法被提出并广泛研究。但是，经典数值方法依赖于网格离散，在复杂几何和高维问题等方面面临困难。 在 ai for science 时代，ai 模型在很多任务上取得了巨大成功，使用这些模型来求解 pde 的想法也得到了许多学者的青睐。一个最为直接的思路是利用考虑物理约束的深度神经网络来表示 pde 的解，并利用 pde 结构定义损失函数、优化神经网络。以此为基础发展的最有代表性的方法是已经得到广泛关注、被寄予厚望的物理信息神经网络（physics-informed neural networks, pinn）。 然而，值得关注的是，神经网络比较明显的优势在处理高维问题上。pde 的大量实际应用场景所面临的挑战不在维数灾难上，而在几何复杂、多尺度等方面。此时，神经网络的优势不容易发挥出来，反倒因为非线性优化等方面的困难，面临着求解效率低、误差不可控、难以系统改进等挑战。因此，如何融合经典数值方法与机器学习方法的优势，是一个亟待解决的问题。 在这个大背景下，陈景润、池煦荣、鄂维南、杨周旺四位学者于 2022 年提出随机特征方法（the random feature method, rfm）。rfm 在避免网格生成、容易处理复杂几何区域（点这里）的同时，也在各种场景下都有媲美经典数值方法的精度和效率（点这里）。 相关文章以《bridging traditional and machine learning-based algorithms for solving pdes: the random feature method》[1]为题，发表在《journal of machine learning》期刊上。 【rfm notebook 案例】 本期 notebook 将以 helmholtz 方程的求解为例，介绍有限差分、pinn 以及 rfm 方法的基本原理和简单实现，并对相应的表现进行比较和分析。我们不预设读者有很强的科学计算或者机器学习的背景知识，只需具备基本的数学和编程知识。如果你想对 ai for pde 的了解更深刻一点，本期 notebook 会是不容错过的佳作。 跟随本期 notebook，使用免费的 cpu 机型，即刻点击查看吧：rfm notebook 链接 |
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