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owenyaa

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[交流] 强非线性系统的半解析方法已有1人参与

开一个帖，后期长期更新，虫友们互相交流
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【时域最小残值法简介及程序介绍(the introduction of the time-domain minimum residual method)】 https://www.bilibili.com/video/B ... 89094dff4c31b595e0b
https://youtu.be/KgepFkp8o70
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非线性振动分析求解技术是近几十年快速发展起来的。一方面，因为非线性动力学理论的不断发展，复杂非线性现象的产生机理得以不断阐明澄清；另一方面，得益于计算机技术的发展，使得大规模数值求解和模拟工作可以进行。非线性振动分析方法主要可以分为定性方法和定量方法。定性方法主要是分析非线性系统诸如分岔、系统稳定性、倍周期分岔等性质的。定量方法则是对非线性系统时程响应、周期解和准周期解的计算方法，包括数值法、解析法和半解析法。对于数值法来说，其可以直接积分获得系统的稳定解，但是无法求解非线性系统的不稳定解。对于解析或半解析方法，其求解非线性系统的难度要大很多，并且很难同时保证求解的精度和效率。为此，发展新的可快速求解非线性系统的解析方法仍旧是一项很有意义的工作。

在过去几十年中，人们对各种非线性现象进行了大量的研究。不同于线性系统可以轻易的获得解析解，对于非线性系统来说，只有很少的一部分特殊的非线性系统(如可积系统)可以求得其解析解。对于更多的非线性系统，学者们仅仅只能找到其近似解析解或者是无穷级数解。摄动理论是第一种可以得到非线性系统近似解析解的理论，但摄动法依赖于小参数假设，且不适用于强非线性系统。为了克服摄动法的缺点，一些新的方法如增量谐波平衡法、同伦分析法等方法陆续被提出来。

1981年，cheung和lau首次提出了增量谐波平衡法(ihb)。ihb法的本质是将增量法和谐波平衡法相结合的半解析半数值的方法。其主要步骤为：将非线性系统的周期解展开为傅立叶级数，并截断前$n$项作为系统的近似解，然后通过迭代的方式来求得谐波系数和系统圆频率。如何确定合适的$n$是ihb法中的难点，保留更多的谐波项意味着不平衡力$r$更容易趋于0，即迭代更容易收敛。但是保留更多的谐波项意味着每次迭代需要求解更多的方程，即每次迭代的计算量更大，花费的时间更长。相反如果选取的$n$太小，则迭代有可能无法收敛。虽然ihb法仍旧有部分缺点，但是借助ihb法，众多学者解决了非常多的非线性问题。cheung和lau最初通过ihb法求解了部分周期和准周期的振动系统，后来我国学者陈树辉将ihb法应用到含二次和三次非线性的系统，分析了非线性系统中常见的超谐波振动和次谐波振动问题。此外，黄建亮等人则是通过ihb法，系统的研究了非线性旋转梁中的内共振、准周期振动等问题。

同伦分析法(ham)是廖世俊最初于1989年提出的一种半解析方法。其将非线性系统的解表示为基函数和一组未知系数组成的级数，通过引入辅助参数$\hbar$、嵌入参数和线性辅助算子来求解非线性系统。同伦分析法抛弃了摄动法中的小参数假设，可以适用于强非线性系统。并且通过辅助参数$\hbar$还能够调节级数的收敛域和收敛速率。廖世俊等人通过ham陆续求解了流体力学中的blasius边界层流动问题，von kármán黏性流动问题以及部分非牛顿流体问题。此外，陈衍茂等人通过ham成功求解了含立方非线性的气动弹性系统，tajaddodianfar等人借助ham分析了mems/nems谐振器中的非线性问题，morales等人进一步改进了ham并提出了拉普拉斯ham，结合分数阶导数求解了一类线性偏微分方程。ham的出现，解决了一批之前不能解决的非线性问题。但即便如此，同伦分析法仍旧存在以下的局限性。首先，同伦分析方法需要选择初始猜测解$\bm{x_0}$、线性辅助算子$\mathcal{l}$、辅助函数$\mathcal{h}(\bm{x})$以及辅助参数$\hbar$，这些参数和算子的选择带有很大的主观性，并且很多时候这些元素的选择并不是唯一的。例如，一个好的线性辅助算子，可以提高解的精度，好的初始猜测解则可以极大的加快收敛速度。虽然不同的辅助算子、辅助函数和辅助参数也许都能够求解某些系统，但是选取不同的算子或参数，对应的计算难度是不同的。并且这些元素在选取上也有很大的技巧性，非常依赖于对所研究系统的先验知识。而对于一些没有任何先验知识的系统，由于不知如何选取这些辅助元素，同伦分析法就无法求解。此外，在ham法求解非线性系统的过程中，还需要推导零阶形变方程和高阶形变方程等等步骤，这些步骤除了较为繁琐之外，即便是借助mathematica和maple等数学软件，推导难度也颇高。

上述方法都存在各自的缺陷，制约着非线性系统应用的发展。针对非线性系统的半解析解求解问题，中山大学刘广在其博士论文提出了一种新的半解析方法-时域最小残值法(the time-domain minimum residual method)。该方法可同时适用于弱非线性和强非线性系统，且理论上可以获得任意精度的半解析解。

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